甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高一下学期第三阶段测试（5月月考） 数学试题

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考试范围：必修一-必修二第八章《立体几何初步》；考试时间：120分钟（+30分钟）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一．单项选择题：本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（ ）
A．当时，随着的增大而增大
B．当时，随着的增大而减小
C．当时，随着的增大而减小
D．当时，随着的增大而增大
2．已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
3．已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（ ）
A．B．C．D．
4．△ABC的周长为18，若，则△ABC的内切圆半径的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．4
若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
6．已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 ( )
A．B．C．8D．
7．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ）
A．是的一个周期B．是奇函数
C．是偶函数D．
10．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（ ）
A．△ABC面积的最大值为B．的最大值为
C．D．的取值范围为
11．勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是
C．勒洛四面体表面上交线的长度为
D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．三棱锥中，顶点P在平面ABC的射影为O，满足，A点在侧面PBC上的射影H是的垂心，，此三棱锥体积的最大值是 .
13．已知△ABC的内角，，所对的边分别为，，，其中，，，则能覆盖△ABC的正方形的最小边长为 ．
14．若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为 ．
四、解答题：请提供第15题13分，第16和第17题各15分，第18题和第19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤.
15．三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)若．求证：
①（为的面积）；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
16．在直三棱柱中，，，，点是平面上的动点．
(1)若点在线段上（不包括端点），设为异面直线与所成角，求的取值范围；
(2)若点在线段上，求的最小值；
(3)若点在线段上，作平行交于点，是上一点，满足．设，记三棱锥的体积为．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理由．
17．已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
(1)判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
(2)若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
(3)已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
18．对于平面向量（且），记，若存在，使得，则称是的“k向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点O重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．
19．如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为．
(1)证明：平面平面；
(2)求；
(3)记与侧面所成的角分别为，证明：．