吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市第五中学、长春市田家炳实验中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（ ）
A．8.9B．8.8C．8.7D．8.6
3．如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（ ）
A．B．4C．D．
4．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
6．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）

A．不存在点，使得
B．点到平面的距离为
C．点到直线的距离为1
D．点在棱上，且，存在点，使得
10．下列关于各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为
B．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为
D．已知集合，，在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为
11．在中，面积，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若是锐角三角形，则
C．若，则
D．若角的平分线长为，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为 .
13．如图，在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正切值为 .
14．数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
16．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判.
(1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由；
(2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率.
17．某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.
(1)求；
(2)若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
(3)每户用电量不超过度的电费是0.5元/度，超出度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少的住户电费都不超过0.5元/度，则至少应为多少（为整数）？
18．在四棱台中，，平面平面，，，，.

(1)求证：平面；
(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.
(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到直线距离的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据投影向量公式计算即可.
【详解】，，
由投影向量的定义和公式可知在上的投影向量为.
故选C.
2．【答案】B
【分析】根据百分位数的计算公式即可求解.
【详解】将数据从小到大排列为：，
,故第75百分位数为，
故选B.
3．【答案】C
【分析】首先求出，再作出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积.
【详解】因为直观图是等腰直角三角形且，所以，
由直观图可得如下平面图形：
则，，所以.
故选C.
4．【答案】D
【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算得，由共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选D．
5．【答案】C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为
(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中错误的是C.
故选C.
6．【答案】D
【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可.
【详解】连接，因为是线段的中点，所以
因为，所以
所以
故选D.
7．【答案】A
【分析】利用余弦定理求得，进而利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】由余弦定理得，即，解得，
所以三角形的面积为.
故选A.
8．【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选A．

9．【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，
，，，，设，
对于A：，，则，所以与不垂直，
即不存在点，使得，故A正确；
对于B：，，，设平面的法向量为，
则，取，
则点到平面的距离，故B正确；
对于C：，所以点到直线的距离，故C错误；
对于D，因为，所以，，
因为，所以，
即，可得轨迹为圆：，
所以圆心，
又，所以轨迹为圆被四边形截得的4段圆弧，所以D正确.
故选ABD.

10．【答案】ABC
【分析】结合古典概型的概率计算公式对各选项依次判断即可.
【详解】对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲、乙），（甲、丙），（乙、丙），共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为，故A正确；
对于B，从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该试验属于古典概型.又所有基本事件包括，，，四种情况，而能构成三角形的基本事件只有一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是，故B正确；
对于C，该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为，故C正确；
对于D，因为，，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABC
【分析】利用三角形面积公式、余弦定理求得，结合正弦定理、基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.
【详解】对于A，由，得，则，
而，解得，A正确；
对于B，锐角中，，，
，则，B正确；
对于C，当时，则，当且仅当时取等号，
则，C正确；
对于D，由三角形面积公式得，则，
即，因此，
当且仅当，即时取等号，D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.
【详解】设圆锥的母线长为，
所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，
所以，所以圆锥的高.
故圆锥的体积为：.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】取的中点，连接，可证得为直线与平面所成角，然后在中求解即可.
【详解】取的中点，连接，
因为平面，平面，所以，
因为为等边三角形，为的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面
所以为直线与平面所成角，
因为，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正切值为.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】根据题意把5根算筹所能表示出的两位数列举出来，然后找出能被4整除的两位，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】因为1根算筹只能表示1；2根算筹可能表示2和6；3根算筹可能表示3和7；
4根算筹可能表示4和8；5根算筹可能表示5和9，
所以5根算筹可能表示的两位数有14，18，41，81，23，27，63，67，32，72，36，76，共12个，
其中能被4整除的有32，72，36，76，共4个，
所以用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得；
(2)根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得.
【详解】(1)由正弦定理有，
因为，
所以，
化简得，
由有，可得，
因为，
所以，则．
(2)由有
又可得，
联立解得，所以为正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得．
故的长为.
16．【答案】(1)不公平，理由见解析；
(2).
【分析】(1)利用列举法，结合古典概型即可得解；
(2)利用树状图法，结合古典概型即可得解.
【详解】(1)连续掷骰子两次的基本事件的总数为，
两次点数之和为6包含的基本事件有共个，
故乙发球的概率为，
两次点数之和能被4整除包含的基本事件有
共个，
故丙发球的概率为，
所以这个方法不公平；
(2)因为在每局比赛中战胜对手的概率均为，
所以本题可用古典概型来解决，
如图所示，用树状图列举每局当裁判的可能，一共有种，
其中甲当2局裁判的可能有种，
所以在四局比赛中甲当2局裁判的概率为.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中各组概率之和为可得值；
（2）根据频率分布直方图中平均值计算公式计算即可；
（3）确定在第四组之间，根据第百分位数计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图中各组概率之和为1得，
，
解得.
（2）根据频率分布直方图中平均值计算公式得
平均值为.
（3）由题意，第一组的频率为，
第二组频率为，
第三组频率为，
所以在第四组之间，为第百分位数，
即，
解得.
故至少应为.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)连接，得四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案；
(2)延长，作交于点，由面面垂直的性质定理得平面，作平面，设，四边形是正方形，取中点，平面，作，可得即为平面与平面的二面角的平面角，利用求出，求出可得答案.
【详解】(1)

连接，因为，，所以，
又，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
(2)延长，做，交于点，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，作平面，
垂足为点，连接，设，
则得为矩形，，
因为，所以四边形为平行四边形，
可得，
可得，即，四边形是正方形，
因为，所以，，
可得，
取中点，连接，则，
则平面，，
作，连接，
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
平面，所以，
可得即为平面与平面的二面角的平面角，
，
，
，
所以，
可得，，
所以，
可得，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.

19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【分析】(1)取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
(2)由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解.
(3)利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可.
【详解】(1)取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
连接，在中，，，则，
于是，
设，则，其中，，
因此，即，
所以.
(2)由平面平面，得，
又，则，而平面，
则平面，即为平面的一个法向量，
，由平面，得，
又，解得，此时，
设是平面的法向量，则，取，得，
设是平面的法向量，则，取，得，
则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
(3)，
则点到直线的距离，
当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为