新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共40分）
1. 已知，复数为实数，则
A. -2B. 2C. 0D.
2. 某中学共有3000名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为50的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为（ ）
A. 800B. 600C. 1200D. 1000
3. 若方差为3，则的方差为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
4. 有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）
A. 第75百分位数B. 平均数C. 极差D. 众数
5. 同时抛三枚普通的硬币，出现“两个正面一个反面”的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A. B. C. D.
7. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若、，，，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共18分）
9. 已知直线，平面，则下列说法错误是（ ）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
10. 下列关于各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A. 从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为
B. 四条线段长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为
D. 已知集合，，在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为
11. 如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（ ）
A.
B. EF和BC所成的角是60°
C. 直线AC和平面ABE所成的角是30°
D. 如果平面平面，那么直线直线.
第II卷（非选择题）
三、填空题（共15分）
12. 已知向量，，且，则__________．
13. 半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为___________.
14. 已知向量在上的投影向量为，且，则__________．
四、解答题（共77分）
15 已知复数，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若是纯虚数，求的值.
16. 在中，角所对的边分别为a,b,c，已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求的值．
17. 袋中有形状、大小都相同的4个小球，
（1）若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；
（2）若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
（3）若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
18. 2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
19. 已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，面，且，为中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值.