天津市红桥区2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份天津市红桥区2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．已知 ，为虚数单位，若为实数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则，
4．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面截球的球面所得圆的面积为，到的距离为，则球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（ ）
A．B．4C．D．
7．已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在中， 是中点，，，， 则 （ ）
A．B．C．D．
9．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．已知为虚数单位，则
11．化简=
12．一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是
13．若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为
14．已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是 .
15．已知点O是内一点，满足，，则实数m为 ．
三、解答题（本大题共4小题）
16．在中，内角所对的边分别是，已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．在中，内角所对的边分别是，已知, ，.
(1)求：的值；
(2)求：的面积.
18．如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据题意得，又因为，求解即可.
【详解】由于，
因为，则，解得.
故选C.
2．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，由，得，
所以.
故选C.
3．【答案】A
【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案.
【详解】对于A，由，得，当时，，A正确；
对于B，若，则或相交，B错误；
对于C，若，，则或异面，C错误；
对于D，若，可以在或内，当时，， D错误.
故选A.
4．【答案】B
【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.
【详解】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积.
故选B.
5．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆的性质求出球半径即可.
【详解】依题意，球的截面小圆半径为1，而球心到截面距离为1，则球半径，
所以球的表面积为.
故选C.
6．【答案】C
【分析】首先求出，再作出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积.
【详解】因为直观图是等腰直角三角形且，所以，
由直观图可得如下平面图形：
则，，所以.
故选C.
7．【答案】B
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.
【详解】向量，且，
所以，解得.
故选B.
8．【答案】B
【分析】首先转化向量，再根据数量积公式，即可求解.
【详解】由余弦定理可知，，
，
.
故选B.
9．【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
所以，
故选D.
10．【答案】
【分析】用复数的除法及乘法法则即可求解.
【详解】，.
故答案为：.
11．【答案】
【详解】利用平面向量的线性运算法则，=+（+）==.
故答案为：.
12．【答案】/
【分析】求出正方体的棱长，进而求出其内切球的半径即可得解.
【详解】正方体的表面积为6，则该正方体的棱长为1，内切球半径为，
所以所求球的体积为.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得.
【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高，
所以圆锥的体积.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】根据题意结合余弦定理求得，进而可得两两垂直，可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，利用正方体的性质求外接球的半径.
【详解】设，则，
因为，则，
在中，因为，则，
由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
可知，即，同理可得，，所以两两垂直，
可以把三棱锥转化为边长为1的正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
正方体的体对角线即为外接球的直径，即.
故答案为：.
15．【答案】
【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值．
【详解】如图，令，则三点共线；
与共线反向，；
；-
解得．

故答案为：.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
（2）利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式计算即得.
【详解】（1）在中，由，令，
由余弦定理得.
（2）在中，由及，得，
则， ，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得.
（2）先求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.
【详解】（1）已知，由正弦定理得，
由于，所以，
因为，
所以；
（2）由于，所以是锐角，
所以，
则.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1） 根据空间向量法结合线面平行判定定理证明；
（2）应用空间向量法求出线面角正弦值.
【详解】（1）

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，，.
因为，，，
设为平面的法向量，
则即，
不妨令x=1，可得为平面的一个法向量，
，则，又平面，
则平面；
（2）因为，，，
设为平面的法向量，
则即，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（3）设为线段上的点，，，，，，求出，由平面的法向量，且直线和平面所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．
【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，平面ABCD，
，，，，，.
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
∴，∴.
（2），，，
设平面APC的法向量，
则，
取，得，
平面PCD的法向量，
设二面角的平面角为，
则.
∴二面角的余弦值为.
（3）解：设Q为线段PD上的点，，
，
则，
解得，，，
∴，，
∵平面PAC的法向量，
且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，
∴，
解得或（舍），
∴.
【方法总结】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．