上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一下学期5月质量调研 数学试卷

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1. 复数 z=1−2i 的虚部是_____.
【解析】
数列 1,2,3,4 和数列 1,3,2,4_____(是/不是)同一数列.
【解析】不是
已知角 α 的终边经过点 P12,−5 ,则 sinα+2025π= _____.
【解析】
已知数列 an 是严格增数列且 an=n2+kn+2 ( n 为正整数),则实数 k 的取值范围为_____.
【解析】
复数 1−i1+i2023= _____.
【解析】
满足 2cs2x+π4=1,x∈0,π 的角 x 的集合为_____.
【解析】
将函数 fx=csωx+π6ω>0 的图像向左平移 π3 个单位长度后与函数 gx=sinωx 的图像重合, 则 ω 的最小值为_____.
【解析】
数列 an 中, an+1=1+an1−an ( n 为正整数),且 a1=kk≠0,1,−1 ,则 a2025 的值为_____.
【解析】（计算器迭代，算周期T=4）
9. 塔是一种在亚洲常见的,有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图,为测量某塔的总高度 AB ,选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D ,现测得 ∠BCD=30∘,∠BDC=45∘,CD=20 米,在 C 点测得塔顶 A 的仰角为 60∘ ,则塔的总高度为_____.
【解析】（正弦定理推导）
10.设点 O 在内部,且 3OA+4OB+5OC=0 ,则 SΔAOB:SΔABC= _____.
【解析】（奔驰定理应用）
已知复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B ,且 z1=2,z12−2z1z2+4z22=0,O 为坐标原点, 则 △AOB 的周长为_____
【解析】（2022年福建高联预赛题，解二元二次方程转到复数的模）
给定平面向量 a 、 c 、 c 、已知对任意实数 x,y ,都有 a−xb≥a−b,a−yc≥a−c 成立. 若 a=2 ,则 b⋅c−a 的取值范围是_____.
【解析】解: 设 DA→=a→,DC→=c→,DB→=b→,DO→=OA→ ,由题意可知点 C,B 在 DA 为直径的圆上运动 (不包括点 D,A 两点)以 O 为坐标原点, DA 为 x 轴建立平面直角坐标系,此时
Ccsα,sinα,Bcsβ,sinβ,D−1,0,A1,0
则b→=DB→=csβ+1,sinβ,c→−a→=AC→=csα−1,sinα
于是b→⋅c→−a→=DB→⋅AC→=csβ+1csα−1+sin αsin β
=csβ+1csα+sinαsinβ−csβ−1
≤csβ+12+sin2β−csβ+1=21+csβ−csβ+1≤12
当且仅当 csβ=−12 时,等号成立当 DB→ 与 AC→ 反向,且都为直径时,此时
DB→⋅AC→=DB→⋅AC→cs DB→,AC→>2×2×−1=−4
于是b→⋅c→−a→∈−4,12
二、单选题(本大题共有 4 题,满分 18 分,第 13、14 题每题 4 分,第 15、16 题每题 5 分)每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知 csα+β=23,tanαtanβ=−13 ,则 csα−β 的值为 ( )
A. −23 B. −1′3 C. 13 D. 23
【解析】
14. 下列四个选项中, 正确的是( )
A. 复平面内实轴上的点都表示实数, 虚轴上的点都表示纯虚数
B. 若复数 z1,z2 满足 z12+z22=0 ,则 z12=0 且 z22=0
C. 若复数 z1,z2 满足 z1=z2 ,则 z12=z22
D. 设 z 为复数, a,b∈R ,若 z+a=2z+bi ,则 z+a=2z−bi
【解析】
15. 已知 O 是平面上的一定点, A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 OP=OA+λABABsinB+ACACsinC ,λ∈[0,+∞) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
【解析】（类似题，若分母中，答案如何选）
16. 令 M 表示全体平面向量构成的集合,若对于任意 u∈M ,都存在唯一的正整数 (记为 fu ) 与之对应,且对任意向量 u,v 和任意实数 α.β 都有 2fαu+βv≤fu+fv+fu−fv ,则对于集合 N={y∣y=fu} 中所含元素的个数说法 正确的是( )
A. N 中至少有两个元素 B. N 中至少有无数个元素
C. N 中至多有三个元素 D. N 中至多有无数个元素
【解析】（非扩张映射）
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知 α∈0,π2,β∈0,π2 ,且 csα=255,sinβ=7210 .
( 1 )求 tanα+β 的值；
( 2 )求 2α+β 的值.
【解析】
(1)由题意
csα=255,sinα=55,csβ=210,sinβ=7210
则 tanα=12 , tanβ=7 ,所以
tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+71−12×7=−3
(2)由 α , β 为锐角,可得 2α+β∈0,3π2
tan2α+β=tanα+β+α=tanα+β+tanα1−tanα+βtanα=−3+121−−3×12=-1
所以 2α+β=3π4 ；
18. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且满足 2bcsC+c=2a .
(1) 求角 B :
(2)若 D 为 AC 的中点,且 BD=52,b=3 ,求 △ABC 的面积.
【解析】
( 1 ) ∵2bcsC+c=2a ,
∴ 由余弦定理得 2b×a2+b2−c22ab=2a−c ,
即 a2+c2−b2=ac ,即csB=a2+c2−b22ac=12,
又 B∈0,π ,则 B=π3 ；
由题意得 BD→∣=52 ,则由平行四边形法则
平方得，BA+BC+2BA•BC=25 ,
即 a2+c2+ac=25 ①,
又 b2=a2+c2−2accsB ,即a2+c2−ac=9 ②,
联立①②得 ac=8 ,
则S△ABC=12acsinB=4×32=23.
19. 已知 △ABC 中, AB=2 , AC=1 , ∠BAC=120∘ ,点 D 在边 BC 上且满足 CD=2BD .

(1)用 AB 、 AC 表示 AD ,并求 AD ；
(2)若点 E 为边 AB 中点,求 CE 与 AD 夹角的余弦值.
【解析】
(1) ∵ 点 D 在边 BC 上,且 CD=2BD ,
∴CD→=2DB→,∴AD→−AC→=2AB→−AD→ ,
∴AD→=23AB→+13AC→ ,且 AB=2,AC=1,∠BAC=120∘ ,
∴AD→=23AB→+13AC→2=49AB→2+19AC→2+49AB→⋅AC→=169+19−49=133 ;
(2) ∵ 点 E 为边 AB 中点,
∴CE→=12CA→+CB→=12−AC→+AB→−AC→=12AB→−AC→ ,
∴CE→=14AB→2+AC→2−AB→⋅AC→=1+1+1=3 ,
又 AD→⋅CE→=23AB→+13AC→⋅12AB→−AC→=13AB→2−13AC→2−16AB→⋅AC→=43−13+12=32 ,
∴cs=AD→⋅CE→AD→CE→=32133×3=33926 .
20. 已知复数 ω1,ω2 满足 ω1