山东省青岛第三十九中学2024−2025学年高一下学期4月份月考 数学试卷（含解析）

这是一份山东省青岛第三十九中学2024−2025学年高一下学期4月份月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知平面向量，，则（ ）
A．6B．8C．0D．
2．已知向量，则“与共线”是“存在唯一实数使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
4．向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量满足，，且，则与的夹角的余弦值为
A．B．C．D．
6．海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3B．C．2D．
8．如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的实部为3
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点的纵坐标越来越小
D．当时，
11．如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知向量，非零向量与的夹角为，，则 .
13．如图，在中，，，，，，则 .
14．已知的内角的对边分别为，下列结论错误的是 .
①若，
②若，则符合条件的三角形有2个
③若，则
④若的面积，则
四、解答题
15．在中，分别为角A、B、C的对边，．
（1）求；
（2）若角的平分线交于，且，，求．
16．图，在平行四边形中，.
（1）用向量，表示向量，.
（2）若向量，证明：三点共线.
（3）若，，，求.
17．在等腰梯形中，，，，．

（1）若与垂直，求的值；
（2）若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．
18．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，，求外接圆的半径；
（3）若点M在线段AC上，，，求的最小值．
19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）求出实数和函数的解析式；
（2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为向量，，则.
故选A
2．【答案】B
【详解】当时，满足与共线，
但是不存在实数使得，
故充分性不成立；
存在唯一实数使得则与共线成立，
即必要性成立.
故“与共线”是“存在唯一实数使得”的必要不充分条件.
故选B.
3．【答案】A
【详解】解:由余弦定理,
故代入边角互化得: ,整理得:
所以,故三角形为等腰三角形.
故选A
4．【答案】C
【详解】因为，，则，
所以在方向上的投影向量为．
故选C
5．【答案】A
【详解】由已知得
得：
故选A
6．【答案】D
【详解】由题意得，，则，
所以，所以，
即B，C间的距离为.
故选D.
7．【答案】B
【详解】由余弦定理得，即，即，又，
，即，当且仅当时等号成立.
，
.
.
故选B
8．【答案】C
【详解】在中，由正弦定理得，
即，得，
在中，，是等边三角形，，
在中，，由余弦定理，
，
所以．
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】由于，
则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；
由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，
故选ACD.
10．【答案】CD
【详解】因为，所以，
因为旋转一周用时6秒，所以角速度，
所以，
所以根据三角函数的定义可得，
所以，所以A错误，
对于B，当时，，则函数在此区间上不单调，所以B错误，
对于C，当时，，所以函数在上单调递减，所以点的纵坐标越来越小，所以C正确，
对于D，当时， ，所以，因为，所以，所以D正确，
故选CD
11．【答案】ACD
【详解】对于A：根据，
故，故A正确；
对于B：设，则
，又，
，，三点共线，，
且，，故，故B错误；
对于D：由于，故，
，故D正确；
对于C，
，
，
，故C正确．
故选ACD．
12．【答案】
【详解】因为，所以，
又非零向量与的夹角为，，
所以，即，
所以，解得（舍去）或.
13．【答案】4
【详解】由题意得：，
，，，
三点共线，，即.
14．【答案】③
【详解】对于①，由及正弦定理，得,所以，故①正确；
对于②，由题意及正弦定理得,
所以,因为，所以,
所以或，即符合条件的三角形有2个，故②正确；
对于③，由，得或，
所以或，所以或，故③错误；
对于④，由，得，
所以，由于，所以，故④正确.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
整理得到：，故即，
而为三角形内角，故.
（2）

因为，且为角平分线，故,
而，故，
而，故，
故，故，故，
故.
16．【答案】（1），；
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1），；
（2）由（1）知，，
又，故，故三点共线；
（3）
.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）过作于 ，
等腰梯形中易知 ，
又，故可得 ，
如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则，
所以，
故
因为与垂直，所以，
解得；
（2）设，，则，，
则，
则，
对，其对称轴，
故其最小值为，
所以的最小值为.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
整理得，而，则，
两边平方得，又，，
于是，解得，
所以.
（2）由余弦定理得，
而，则，解得，，
所以外接圆的半径为.
（3）由，，得，
由，，得，
则，即，
因此，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
19．【答案】（1），；
（2）
（3）.
【详解】（1）由题意得，所以，且，
所以，且，所以，
故，.
（2）的图象向右平移个单位，得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
可得的图象，
因为图象的一个对称中心为，
则，得，
因为，所以当时，此时取得最小值为.
（3）当取最小值时，，
当时，，
此时，如图：
恰有两个实数根，
结合图象可知，即，
.
0
0
3
0
0