山东省临沂第十八中学2023−2024学年高一下学期6月阶段性测试 数学试题（含解析）

这是一份山东省临沂第十八中学2023−2024学年高一下学期6月阶段性测试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，且与共线，则实数x的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
4．已知表面积为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A．3B．C．6D．
5．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少一个红球
C．至少有一个黑球与都是红球D．恰好有一个黑球与都是红球
6．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项错误的是（ ）

A．周岁人群参保总费用最少
B．30周岁以下的参保人群约占参保人群的
C．54周岁以上的参保人数最少
D．丁险种更受参保人青睐
7．已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
8．已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1， 2，，6， 7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16
10．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为分别在棱上，且，分别为的中点，则（ ）
A．平面
B．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条
C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为
D．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为
11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当实数m = 时，z是纯虚数.
13．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
14．如图，平面四边形，将沿折起到的位置，此时二面角的大小为，连接，则三棱锥外接球的表面积为 ；三棱锥的体积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为
(1)求A；
(2)求周长的最大值.
16．如图，平面，，，为中点．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
17．某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试．从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率.
18．在四边形ABCD中，||＝4，＝12，E为AC的中点.
（1）若cs∠ABC＝，求△ABC的面积S△ABC；
（2）若，求的值.
19．如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.
（1）求证：平面；
（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【分析】首先求出，然后根据与共线建立方程求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为与共线，所以，解得.
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为，故，故.
故选C.
3．【答案】D
【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角梯形，从而可求出其面积.
【详解】把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示，
设原来梯形的上底为，下底为，高为，
则直观图中等腰梯形的高为，
因为直观图的面积为，
所以，
所以原梯形的面积为.
故选D.
【思路导引】由斜二测画法的规则可知，结合题目条件有，即可解得原梯形的面积.
4．【答案】A
【分析】根据题意结合圆锥侧面展开图的性质列式求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意可得，解得.
故选A.
5．【答案】D
【分析】先分析所有的可能结果，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断.
【详解】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球的可能结果有3种：
两个都是黑球、两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球，
所以事件“至少一个黑球”包括两个都是黑球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果，
事件“至少一个红球”包括两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果，
所以，A中的两个事件不互斥也不对立，
B中两个事件不互斥也不对立，
C中两个事件互斥且对立，
D中两个事件互斥但不对立.
故选D.
6．【答案】A
【分析】根据统计图表一一分析即可.
【详解】对于选项A，由扇形统计图及折线图可知，，
故不小于周岁人群参保总费用最少，故A错误；
对于选项B，由扇形统计图可知，周岁以下参保人群约占参保人群的，故B正确；
对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占，人数最小，故C正确；
对于选项D，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确.
故选A．
7．【答案】C
【分析】延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.
【详解】如图，延长到D，使得，
因为，所以点P在直线上，
取线段的中点O，连接，
则，
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为.
故选C.
【思路导引】延长到D，使得，结合题目条件可知点P在直线上，取线段的中点O，根据向量的运算可得=，则当时，取得最小值，再利用勾股定理以及三角形面积公式可得，即可计算出的最小值为5.
8．【答案】C
【分析】分别取三角形，四边形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根据球的表面积公式求表面积即可.
【详解】
设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，，
因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积.
故选C.
9．【答案】ACD
【分析】对于A，利用概率对于判断即可；对于B，根据平均数求得的值，然后利用方差公式求解即可；对于C，8个数据70百分为，从而求得第70百分位数为第6个数；对于D，利用方差公式求解即可.
【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；
对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，这组数据的方差是，故B错误；
对于C，8个数据70百分为，第70百分位数为第6个数为23，故C正确；
对于D，依题意，，则，故数据的标准差为16，D正确.
故选ACD.
10．【答案】CD
【分析】根据线面平行的定义判断A；找出所求直线构成圆锥，结合给定条件判断B；作出过三点的截面，再求解面积判断C；作出点关于面和面的对称点，求出点到对称点的距离，找到周长最小时的条件，判断D即可.
【详解】由题意得，直三棱柱的所有棱长均为3，
所以，所以是等边三角形，
对于A，如图，连接，
因为，所以，故得，
而，所以是等边三角形，
因为，所以，故得，
因为三棱柱是直三棱柱，所以，
故得，所以四点共面，
由题意得，且记，
则，，
而，所以，
所以，，即是的中点，
同理记，因为直三棱柱，
所以，可得，，
因为，所以，
所以，，故是的中点，
所以是的中位线，可得，，
因为分别为的中点，所以是的中线，
是的中位线，可得，，
所以与是同一条直线，故，
由勾股定理得，所以，
而，所以，故，
故，得到是的中点，因为面，
所以面，所以面和面是同一个平面，
所以面，故A错误；
对于B，因为直三棱柱，所以面，
面，故，，，
则与所成角为，故点作的平行线，得到，
故与直线成角为的所有直线构成以为顶点的两个对顶圆锥（为轴），
同理与直线成角为的所有直线构成以为顶点两个对顶圆锥（为轴），
而与所成角为，因此圆锥面上公共直线共有2条，
过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有2条，故B错误；
对于C，由已知得面，所以截面是四边形，
因为，，所以，故，
所以，故，
，因为，所以，
故，解得，而，
所以，故，解得，
如图，作，则四边形是矩形，所以，
，在中，由勾股定理得，
作，因为直三棱柱，所以面，
面，故，，
所以四边形是矩形，故，，
在中，由勾股定理得，
因为，，所以，
而，所以四边形是梯形，
如图，作，，所以，
所以四边形是矩形，所以，，
由勾股定理得，而，
所以，由勾股定理得，
所以梯形的面积为，故C正确；
对于D，因为，，
所以是面和面所成二面角的平面角，
因为是等边三角形，所以，
如图，作，因为分别为的中点，
所以，由锐角三角函数定义得，
解得，因为面，面，
所以，而，面，
所以面，故到面的距离为，
作，由锐角三角函数定义得，
解得，而面，所以，
因为，面，
所以面，故到面的距离为，
而是的中点，所以到面的距离为，
到面的距离为，
如图，取关于面的对称点为，关于面的对称点为，
当分别取直线与面和面的交点时，
周长的最短，此时，，
由余弦定理得，故D正确.
故选CD.
11．【答案】ACD
【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，由余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理，得，
即，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，
所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，
故 ，解得b，选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即，
因为，所以，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，选项C正确；
选项D：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，
又因为，所以，故，，解得，
因为，所以，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【分析】先根据题意，把复数化成的形式，结合纯虚数实部为零虚部不为零，即可求解.
【详解】根据题意，
得：，
因z是纯虚数，故，即.
故答案为：.
【思路导引】化简题目条件可得z＝(m+2)(m-4)+(m+1)(m-4)i，结合纯虚数的定义，实部为零虚部不为零，联立方程组即可计算出m的值.
13．【答案】
【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜，（2）第一局乙胜，第二局甲胜，分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】分两种情况讨论：
（1）第一局甲胜，第二局乙胜：
若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；
（2）第一局乙胜，第二局甲胜：
若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为.
综上所述，甲、乙各胜一局的概率为.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】根据题意，可知、都是以为斜边的直角三角形，故三棱锥外接球的球心为中点，直径为，即可求出三棱锥外接球的表面积；结合题意求出点到平面的距离，即可得到三棱锥的体积.
【详解】由，可知三棱锥外接球的直径为，
三棱锥外接球的半径，
故三棱锥外接球的表面积；
由题意得点到直线的距离，
因二面角的大小为，
所以点到平面的距离，
故三棱锥的体积.
故答案为：；.
15．【答案】(1)；
(2)9.
【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小；
（2）由（1）得，再由正弦定理可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件.
【详解】（1）已知向量，，
则，
则，
所以，
则，
所以，
又，
故且，
所以，
又，
则；
（2）由（1）知：，
则，
由正弦定理可得：的外接圆半径为，
则，
即，
所以，
则，当且仅当且，即时等号成立，
故三角形周长的最大值为
【思路导引】结合数量的向量机以及正弦定理，化简题目条件可得，再根据三角形内角性质即可计算出；由（1）可知，根据正弦定理可知的外接圆半径为，代入题目条件得出，最后利用基本不等式即可计算出周长的最大值.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）取的中点，连接、，因为为中点，
所以且，又，，，
即且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面.

（2）因为，，所以，
所以，
又平面，所以，
因为，，所以，
由平面，平面，所以，，
又，，
所以，
所以，
设点到平面的距离为，则，
解得.
17．【答案】(1)分；
(2)0.352.
【分析】（1）根据频率和为1求的值，再根据平均数公式运算求解；
（2）根据独立事件概率乘法公式运算求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可得每组的频率依次为，
则，解得；
设平均成绩的估计值为，
则（分），
所以这100名学生的平均成绩估计值为74分.
（2）每个学生成绩不低于80分的概率为0.4，
3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率；
3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率；
3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率.
18．【答案】（1）；
（2）0.
【分析】（1）容易求出，并且可求出的值，根据三角形面积公式即可求出的面积；
可以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并可得到，，并设，根据条件可求得点坐标，从而求出的坐标，进行数量积的坐标运算即可求得，这样便可求出的值．
【详解】（1），；
；
；
；
；
（2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系：
则，，设；
由，可得；
则；
；
.
19．【答案】（1）证明见解析；
（2）存在；点为两个半圆弧中点；正弦值为1.
【分析】（1）由题意，∠APB＝90°，即PB⊥PA，再由母线AD⊥底面圆O，得AD⊥PB，由直线与平面垂直的判定可得PB⊥平面PAD；
（2）由已知求得圆柱底面半径为与母线长，在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，由（1）知PB⊥平面PAD，可得PB⊥AM，进一步得到AM⊥平面BDP．若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角；若M与Q重合，且直线AQ与平面BDP所成角为90°，求得点P为两个半圆弧AB中点．由此可得当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90°，正弦值最大为1.
【详解】（1）证明：因为是圆O的直径，点P是圆周上一点，
所以，即，
又在圆柱中，母线底面，底面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）设圆柱底面半径为，母线为，则，解得，
在中，过作交于点，
由（1）知平面，
因为平面，所以，
又，所以平面，
若与不重合，即为直线与平面所成的角，
若与重合，直线与平面所成的角为，
设，由对称性，不妨设，
则在中，，
在中，，，
于是
，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时，，直线与平面所成的角为，正弦值为1，
点为两个半圆弧的中点.