北京市第二中学2023−2024学年高一下学期第五学段考试 数学试题（含解析）

这是一份北京市第二中学2023−2024学年高一下学期第五学段考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若向量，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
2．下列命题中正确的是
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b不在平面α内，则b∥α
3．在中，是的中点，则
A．B．
C．D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
5．在直角梯形中，，且，是的中点，则（ ）
A．B．3C．2D．
6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，是的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，､分别是､的中点，将三角形沿折起，则下列说法错误的是（ ）
A．不论折至何位置(不在平面内)，都有平面
B．不论折至何位置(不在平面内)，都有
C．不论折至何位置(不在平面内)，都有
D．在折起过程中，一定存在某个位置，使
9．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块喝冷饮降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 .
12．已知平面和三条不同的直线m，n，l.给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥.以其中两个论断作为条件，使得成立.这两个论断可以是 .（填上你认为正确的一组序号）
13．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 (只需写出一个可能的值)
14．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点．现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/h，该救援船到达D点需要 h．
15．如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论：
①四边形的周长为定值；
②四边形的面积为定值；
③四边形为矩形；
④四边形的面积有最大值1．
则其中正确的结论 ．
16．已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.
①有5个不同的值
②若，则与无关
③若，则与无关
④若，则
三、解答题
17．已知向量，，．
（1）求函数的最小正周期，并求当时，的取值范围；
（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．在中，若，求角A的大小．
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）若，，D为BC边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①：；条件②：．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
19．如图，四边形ABCD是正方形，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
20．井冈山市茨坪镇为落实空间布局的需要，拟建设如图所示的三角形产业园区，根据规划要求，该产业园区需满足条件：．
（1）求B的大小；
（2）若在该产业园内再规划一个核心功能区（D、E是边BC上的点），且，，米，，当核心功能区的面积最小时，求的大小．
21．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中，），则称集合为集合的一个元基底．
（1）分别判断下列集合是否为集合一个二元基底，并说明理由；
①；②．
（2）若集合是集合的一个元基底，证明：；（备用公式：）
（3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．
参考答案
1．【答案】C
【详解】本题考查向量的坐标运算．
解答：选项A、．
选项B、
选项C、，正确．
选项D、因为所以两向量不平行．
2．【答案】D
【详解】由线面平行的判定定理，可以判断的真假；根据线面平行的定义及几何特征，可以判断与的真假；根据线面平行的判定定理，可以判断的真假；进而得到答案．
【详解】解：如果，是两条直线，且，那么平行于经过但不经过的任何平面，故错误；
如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行或异面，故错误；
如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故错误；
选项：过直线作平面，设，
又
又
又且
．因此正确．
故选．
3．【答案】D
【详解】在中，为边上的中线，为的中点，
所以
，
故选D.
4．【答案】A
【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形.
【详解】由，可得，即
则，又，则
则的形状为钝角三角形.
故选A.
5．【答案】C
【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系，

则、、、，则，
所以，，
所以.
故选C
6．【答案】D
【详解】如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选D
7．【答案】B
【详解】因为，
设，则，，且，
则，
因为，所以，所以，即.
故选B
8．【答案】C
【详解】由已知，在未折叠的原梯形中，，，
∴四边形为平行四边形，∴，
折叠后如图所示，
A选项，过点作，交于点，连接，∵､分别是､的中点，∴点为的中点，故，又，，∴平面平面，故平面，故A正确；
B选项，由已知，，，∴，，又，∴平面，又平面，∴，故B正确；
C选项，假设，则与确定平面，从而平面，
平面，与和是异面直线矛盾，故C错误；
D选项，当时，，∵，，，
∴平面，平面，∴，故D正确；
故选C.
9．【答案】A
【分析】由图形，分别求圆锥的底面半径和高，由圆锥和球的体积求出高脚杯内水的体积.
【详解】作，垂足为，则球的半径，此时，水面半径，
设加入小球后水面以下的体积为，原来水的体积为，球的体积为.
所以水的体积为.
故选A.
10．【答案】D
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，
，， ，，
∵，∴，
∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段：
正方体中，平面，
∴，又，
由图可知当点P在E处取得最大值，
所以面积的最大值.
故选D.
11．【答案】
【详解】由三角形内角和定理，可得，
由正弦定理，可得，
解得.
12．【答案】①④（或③⑥）
【详解】根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.
【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故可填①④
对①⑤，若，，则；
对①⑥，若，，则无法判断的位置关系；
对②④，若，，则；
对②⑤，若，，则可能相交，平行或异面；
对②⑥，若，，则无法判断的位置关系；
对③④，若，，则无法判断的位置关系；
对③⑤，若，，则无法判断的位置关系；
对③⑥，由平行的传递性可知，若，，则，故可填③⑥
13．【答案】或或
【详解】由四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体如图,
①四面体各棱中有一条为1，另五条为2，
不妨取三条侧棱长均为2,底面边长BC=BD=2，CD=1.

其表面积为.
故其表面积为.
②四面体各棱中有两条为1，四条为2，
由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必为对棱.
如图示，

四个面全等，所以表面积为.
③四面体各棱中有三条为1，三条为2，
由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必在同一个面内.
如图示：

所以表面积为.
14．【答案】
【详解】由题意，，
，
在中，由正弦定理得，
所以.
又,，
所以在中，由余弦定理得
，所以.
该救援船到达D点需要.
15．【答案】①③④
【详解】因为平面，平面平面，平面，
所以，同理可证，所以；
又平面，平面平面，平面，
所以，同理可证，所以；
所以四边形为平行四边形，又，则，所以四边形为矩形，所以③正确；
由相似三角形的性质得，所以，，所以，
所以四边形的周长为定值，所以①正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以四边形的面积有最大值，所以②错误，④正确.
16．【答案】②④
【详解】的可能值有，，，故①错误
而，则，③错误；
当时，与无关，故②正确；
当时，故④正确.
17．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）.
函数的最小正周期.
时，，，所以.
（2）由题可得.
，即，得.
因为为内角，所以，得.
18．【答案】（1）.
（2）若选条件①：；若选条件②：.
【详解】（1）由正弦定理得：，
整理得，即，
，∴，
（2）由（1）知，又，，
∴即解得，或（舍），
∵，∴为直角三角形，
若选条件①：，D为BC中点，
∴.
若选条件②：，
方法一、 ∵，∴，
，
解得，.
方法二、∵，∴ AD为的角平分线，
由角平分线性质，
∴ .
19．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）因为平面，，所以平面.
，所以.
又因为四边形ABCD是正方形，所以,，所以平面.
（2）取中点，连接，则为三角形的中位线，.
所以，四边形为矩形.则，即.
又因为，所以.
（3）平面，，所以.
又因为四边形ABCD是正方形，所以,,所以.
所以.
所以三棱锥的体积为.
20．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题，由正弦定理有，
因为，所以，则，得.
，所以.
（2）由（1）知，，所以，为直角三角形.
因为，所以.
，，则，.
中，，得.
，得.
在中，，得.
所以的面积
当时，，当时，，此时最小.
故.
21．【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
（3），
【详解】（1）①不是的一个二元基底.
理由是；
②是的一个二元基底.
理由是，
.
（2）不妨设，则
形如 的正整数共有个；
形如 的正整数共有个；
形如的正整数至多有个；
形如 的正整数至多有个.
又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.
故，即.
（3）由（2）可知，所以.
假设为的一个元基底，
不妨设，则.
当时，有，这时或或或，
对于，且且，
所以不是的元基底
同理可得，，都不是的元基底，矛盾.
当时，
若，这时，易知不是的元基底，矛盾，
若，这时，易知不是的元基底，矛盾.
当时，
若，这时，易知不是的元基底，矛盾.
若，这时，易知不是的元基底，矛盾.
当时，
若，这时，易知不是的元基底，矛盾.
若，这时，易知不是的元基底，矛盾.
当或时，易知不是的元基底，矛盾.
当时，的一个基底，，符合题意.
综上，的最小可能值为.