湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应性考试(五)数学试题

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1. 已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知非零向量，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3. 已知cs=，则sin=（ ）
A. B. C. D.
4. 若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是( )
A. B. C. D.
5.已知实数x，y满足x>3，且，则x+y的最小值为（ ）
A. 1+2 B. 8 C. 6 D. 1+2
6. 抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
7. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为等边三角形，则平面 与三棱锥 的外接球球面的交线长为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 展开式的各项系数之和为4096 B. 展开式中含项的系数为45
C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中第6项的系数最大
10. 一个袋中有大小、形状完全相同的个小球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中先后无放回地取出个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则( )
A. B.为互斥事件 C. D.相互独立
11. 已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则的虚部为
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 1与2025的等比中项为___________.
13. 已知函数的图象关于点对称，则______．
14. 如图，斜率为的直线与椭圆：交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为______．
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 （单位：千米）的图象，且图象的最高点为 （单位：千米）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定 .
(1)求A， 的值和线段MP的长；
(2)求MNP面积最大值.
16. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点， 平面AEC．
(1)求证：点E是棱PD的中点；
(2)若 平面ABCD， ，PC与平面ABCD所成角的正切值为 ，求二面角 的正切值．
17. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，且其焦距为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于不同的两点 ，且在由点 与 构成的三角形中， ，求实数 的取值范围.
18. 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，最后落入 袋或 袋中.一次游戏中小球落入 袋记1分，落入 袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得 分的概率为 .
(1) 求 ， ， .
(2) 求出 的通项公式.
19. 已知函数 ，且曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求实数 的值.
(2)当 时，证明：当 时， .
(3)当 时，若存在 ，使得 成立，证明： .