2024-2025学年九师联盟高二下学期5月联考数学试卷(北师大版)（含答案）

这是一份2024-2025学年九师联盟高二下学期5月联考数学试卷(北师大版)（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=ln2x，则f′(x)=( )
A. 12xB. 2xC. 1xD. 1x+2
2.对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. r10
3.已知f′(x)是函数f(x)=ex+ax+c(a,c∈R)的导函数，若f′(0)=3，且f(x)在[0,1]上的最大值为5，则c的值为( )
A. 1B. −1C. 3+eD. 3−e
4.若函数f(x)=13x3−ax2−(a−2)x+5存在极值点，则实数a的取值范围为( )
A. (−2,1)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)
C. [−2,1]D. (−∞,−2]∪[1,+∞)
5.若数列{an}满足a1=2，an+1an=an−1，则a2025=( )
A. −1B. 12C. 2D. 3
6.(x5−2)(x2−2x3)5的展开式中常数项为( )
A. −80B. 80C. −160D. 160
7.设随机变量Z~N(μ,1),函数f(x)=x3-3x2+Z⋅x在定义域R上是单调递增函数的概率为12,则P(1< Z≤2)=（）附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ< Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ< Z≤μ+2σ)≈0.954.
A. 0.1587B. 0.1355C. 0.2718D. 0.3413
8.若函数f(x)=x+aex(a∈R,e是自然对数的底数)有两个零点，则a的取值范围为( )
A. a>0B. a=1e2C. a≥1eD. 0b>0)的离心率为12．
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点A是椭圆C的左顶点，直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，且P，Q两点均不与点A重合;
(ⅰ)若直线l与圆x2+y2=127相切，证明：以PQ为直径的圆经过坐标原点;
(ⅱ)若直线AP，AQ的斜率之积为−14，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.A
6.C
7.B
8.D
9.AB
10.BCD
11.BCD
12.53
13.1729
14.(−∞,0)
15.解：(1)设数列{an}的公差为d，则d≠0，
由a42=a2a8,S2=3得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)2a1+d=3,
化简得d2=a1d2a1+d=3,
因为d≠0，所以d=a1=1，
所以an=1+(n−1)×1=n．
(2)由(1)知an=n，
则bn=n⋅2n，
则Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，
2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1，
两式相减得−Tn=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，
所以Tn=(n−1)⋅2n+1+2．
16.解：(1)2×2列联表为：
由列联表得：χ2=100×(40×20−30×10)270×30×50×50=10021>3.841，
所以有95%的把握认为加工后零件是否为一等品与甲、乙有关．
(2)根据分层抽样的方法，甲乙一等品的零件数之比为：甲乙=43，
所以抽取出的7个一等品零件中，甲加工的4个，乙加工的3个，
X的所有取值为：0，1，2，3，
P(X=0)=C44C74=135，
P(X=1)=C31C43C74=1235，
P(X=2)=C32C42C74=1835，
P(X=3)=C33C41C74=435，
X的分布列为：
E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127．
17.解：(1)因为C1B=C1C，D是BC的中点，
所以BC⊥C1D，同理BC⊥AD，
又C1D∩AD=D，C1D，AD⊂平面AC1D，
所以BC⊥平面AC1D，
又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面AC1D，
又平面ABC∩平面AC1D=AD，
作C1H⊥AD交AD于点H，则C1H⊥底面ABC，如图，
C1H就是三棱柱ABC−A1B1C1的高，
又AB=AC=4，AB⊥AC，
所以BC= AB2+AC2=4 2，AD=12BC=2 2，
又C1A=C1D=2，所以AD2=C1A2+C1D2，
所以△C1AD是等腰直角三角形，所以C1H=12AD= 2，
所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=12AB×AC×C1H=12×4×4× 2=8 2．
(2)以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，过点A且与C1H平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为由(1)可得△C1AD是等腰直角三角形，C1H⊥AD，
所以H是AD的中点，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，D(2,2,0)，H(1,1,0)，C1(1,1, 2)，
BC1=(−3,1, 2)，B1C1=BC=(−4,4,0)，AB=(4,0,0)，
设平面ABC1的法向量为n=(a,b,c)，
则BC1⋅n=−3a+b+ 2c=0AB⋅n=4a=0,
取b= 2，则a=0，c=−1，所以平面ABC1的一个法向量n=(0, 2,−1)，
cs=B1C1⋅n|B1C1||n|=4 24 2× 3= 33，
所以直线B1C1与平面ABC1所成角的正弦值为 33．
18.解：(1)因为y=sinx，y′=csx，
所以函数y=sinx的图象在点A(−π2,−1)处的切线方程是y+1=0⋅(x+π2)，即y=−1，
同理可得函数y=sinx的图象在点B(3π2,−1)处的切线方程也是y=−1，
因此，经过A，B两点的直线AB:y=−1恰好是曲线y=F(x)的一条切线，
又因为sinx≥−1对x∈[−π2,3π2]恒成立，
所以函数y=sinx是以A，B两点为“桥墩”的“桥函数”．
(2)函数f(x)=1−x2不是“桥函数”，函数g(x)=x+sinx是“桥函数”，理由如下：
对于函数f(x)=1−x2，因为f′(x)=−2x，
所以由f′(x)=−2x图象可知，导函数f′(x)在(−∞,+∞)上是减函数，
所以在函数f(x)的图象上的任意两点A，B处的切线的斜率都不相同，
不满足“直线AB恰好是曲线y=f(x)的一条切线，且A，B为切点”，
所以函数f(x)=1−x2不是“桥函数”;
对于函数g(x)=x+sinx，我们先在函数g(x)的定义域(−∞,+∞)上找一个区间[a,b]，
使函数g(x)=x+sinx的图象上经过A(a,g(a))，B(b,g(b))两点的直线AB恰好是曲线g(x)=x+sinx的一条切线，且A，B为切点，
方法一：因为g(x)=x+sinx，g′(x)=1+csx，设A(x1,x1+sinx1)，B(x2,x2+sinx2)，x1≠x2，
则曲线g(x)=x+sinx在A，B两点处的切线方程分别为y=(1+csx1)x+sinx1−x1csx1，y=(1+csx2)x+sinx2−x2csx2，
令1+csx1=1+csx2sinx1−x1csx1=sinx2−x2csx2,
则csx2=csx1，所以x2=±x1+2kπ(k∈Z且x1≠x2)，当x2=x1+2kπ，
代入sinx1−x1csx1=sinx2−x2csx2，整理得csx1=0，所以x1=π2+mπ(m∈Z)，
不妨取x1=−π2，则A(−π2,−π2−1)，B(3π2,3π2−1)，kAB=3π2−1−(−π2−1)3π2−(−π2)=1，
又函数g(x)=x+sinx的图象在A，B两点处切线的斜率g′(−π2)=1，g′(3π2)=1，
这就是说，函数g(x)=x+sinx的图象上过A(−π2,g(−π2))，B(3π2,g(3π2))两点的直线AB，
恰好是曲线g(x)=x+sinx的一条切线，且A，B为切点，此时，切线AB的方程为y=x−1．
方法二：在函数g(x)的定义域(−∞,+∞)上，取区间[−π2,3π2]，令A(−π2,−π2−1)，B(3π2,3π2−1)，
则kAB=3π2−1−(−π2−1)3π2−(−π2)=1，
且函数g(x)=x+sinx的图象在A，B两点处切线的斜率g′(−π2)=1，g′(3π2)=1，
所以函数g(x)=x+sinx的图象上过A(−π2,g(−π2))，B(3π2,g(3π2))两点的直线AB恰好是曲线g(x)=x+sinx的一条切线，
且A，B为切点，此时，切线AB的方程为y=x−1，
再来说明在−π2≤x≤3π2时，函数g(x)=x+sinx的图象不在切线AB的下方，
即需要说明x+sinx≥x−1对−π2≤x≤3π2恒成立，
因为对任意实数x，都有sinx≥−1，
所以x+sinx≥x−1恒成立，即x+sinx≥x−1对−π2≤x≤3π2恒成立，
因此，函数g(x)=x+sinx是“桥函数”．
19.解：(1)由题意得1a2+94b2=1ca=12a2=b2+c2，解得a2=4b2=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)由(1)得，将直线l的方程与椭圆C的方程联立y=kx+mx24+y23=1,
并消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
因为直线l与椭圆C有两个交点，
Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2⋅4m2−123+4k2+km⋅−8km3+4k2+m2=3m2−12k23+4k2，
(i)证明：因为直线l与圆x2+y2=127相切，
所以圆心到直线l的距离为|m| 1+k2= 127，即7m2−12k2−12=0，
于是x1x2+y1y2=4m2−123+4k2+3m2−12k23+4k2=7m2−12k2−123+4k2=0，
因为OP·OQ=x1x2+y1y2，
所以OP⋅OQ=0，即OP⊥OQ，
所以以PQ为直径的圆经过坐标原点．
(ii)证明：椭圆C的左顶点A的坐标为(−2,0)，
所以kAP⋅kAQ=y1x1+2⋅y2x2+2=y1y2x1x2+2(x1+x2)+4=3m2−12k23+4k24m2−123+4k2+−16km3+4k2+4，
=3m2−12k24m2+16k2−16km=−14，
化简得m2−km−2k2=0，所以m=2k或m=−k，
当m=2k时，直线l的方程为y=kx+2k，即y=k(x+2)，直线l过定点A(−2,0)，不合题意;
当m=−k时，直线l的方程为y=kx−k，即y=k(x−1)，直线l过定点(1,0)，
此时Δ=48(4k2−m2+3)=144(k2+1)>0，满足题意，
综上即证直线l过定点，点的坐标为1,0． 零件尺寸x
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
零件个数y
甲
4
5
20
15
6
乙
9
7
15
8
11
α=Pχ2⩾k
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
一等品零件数
二等品零件数
甲
40
10
50
乙
30
20
50
合计
70
30
100
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435