四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题（第三次联考+第三次联考）（高考模拟）

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注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴码区”．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意利用一元二次不等式求集合B，进而求交集.
【详解】因为，，
所以．
故选：C.
2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知等式求出复数，再根据复数的模的计算公式求出.
【详解】由，有，所以，故．
故选：B
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的周期性以及单调性，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，最小正周期为，由，得，则单调递减，故A错误；
对于B，最小正周期为，由，得，则单调递减，故B错误；
对于C，最小正周期为，当时，单调递减，故C错误；
对于D，最小正周期为，当时，单调递增，故D正确；
故选：D
4. 已知函数，则函数的图象（ ）
A. 关于点对称B. 关于点对称
C. 关于直线对称D. 关于直线对称
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为，则为奇函数，
所以的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．
故选：A
5. 已知向量，则“”是“向量共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.
【详解】当时，向量，因，所以向量共线成立；
由向量，共线，有，此时，
所以“”是“向量共线”的充分不必要条件．
故选：A
6. 赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据题意，由条件可得，再由同角三角函数的平方关系以及二倍角公式，代入计算，即可得到结果.
【分析】由题意，大、小正方形的边长分别为13，7，
于是有，即有，
两边平方得，所以．
故选：D
7. 甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（ ）
A. 144种B. 168种C. 192种D. 216种
【答案】C
【解析】
【分析】讨论甲坐的位置，然后根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法；
甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法；
甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法，
所以不同坐法种数共有种．
故选：C
8. 设抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. p
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知条件得出直线 斜率的表达式，然后利用基本不等式求出其最大值.
【详解】由已知，，设（因为需要确定最大值，不妨设），则，于是直线的斜率满足：
，当且仅当即时取等．
另解：可取点，连接，则，直线的斜率．由图形直观可得，直线与抛物线相切时（点在第一象限），其斜率最大．
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果.
【详解】
对于A，作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，选项A正确；
对于B，，选项B错误；
对于C，，选项C错误；
对于D，对于正态分布，给定是一个只与有关的定值，
则，选项D正确．
故选：AD
10. 已知在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. 的周长为12B. 角的最大值为
C. 面积最小值为D. 的面积最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理得可判断A；利用基本不等式得，再由余弦定理得可判断B；根据，当角接近0时，的面积也接近0可判断C；由得在时取得最大值，可判断D．
【详解】对于A，由根据正弦定理得
的周长为，选项A正确；
对于B，因为，由余弦定理，
因为，当且仅当等号成立，所以，选项B正确；
对于C，，当角接近0时，的面积也接近0，所以选项C错误；
对于D，，由得在时取得最大值，
故在时取得最大值，选项D正确．
故选：ABD.
11. 已知是函数的极大值点，则（ ）
A. 函数的极小值为0
B. 若，则
C. 若，则有3个相异的零点
D. 若（其中），则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】对于A中，由函数，可得，
因为是的极大值点，所以，解得，
所以，可得，
当时，，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确；
对于B中，当时，，则，
因为在区间上单调递减，所以，所以B错误；
对于C中，由，且当时，，当时，，
可得的图象，如图所示，
当时，有3个相异零点，所以C正确；
对于D中，因为，要证，只需证明，
由在上单调递增，需证明，
即当时，证明，
构造函数（其中），
则，
当时，，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以，所以，所以D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线，O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出双曲线的焦点和渐近线，进而可求的面积，再乘以2即可.
【详解】，故双曲线C的右焦点为，
由已知，一条渐近线的方程为，其倾斜角为，
所以，的面积为．
故答案为：
13. 若，，则实数m的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，转化为，令，结合基本不等式，求得函数的最小值，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，故只需，
令，则，
当且仅当，即时取等号，所以，所以实数的取值范围为．
故答案为：.
14. 已知正四面体ABCD的棱长为，其顶点都在球O的球面上，点M在棱CD上，且，则过点M的平面截球O所得截面的面积最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，把正四面体放置在一个棱长为1的正方体中，取的中点，得到，由，求得，再由过点且垂直于的截面为面积最小，结合球的截面的性质，求得截面圆的半径，利用圆的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，由题可知棱长为1的正方体的顶点也都在球面上，所以球的半径为，
取的中点，连接，则，
由且正四面体的棱长为，可得，，
则，
因为过点的平面截球所得截面为圆，则过点且垂直于的截面为面积最小，
设该截面圆半径为，
则，
可得所得截面的圆面积最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在各项为正的等比数列中，，是与的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差中项的定义代入计算，即可得到结果；
（2）由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
设各项为正的等比数列的公比为，
由，所以，
因为是与的等差中项，
所以，化简得，
解得（舍去），
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）可得，，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
16. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？
（2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品．
（ⅰ）求取出的产品是次品的概率；
（ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）有关联 （2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）（ⅰ）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得.
【小问1详解】
提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联，
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于；
【小问2详解】
设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，
（ⅰ）依题意，，
，
由全概率公式得：；
（ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为：
．
17. 动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线交于两点，
（ⅰ）求取值范围；
（ⅱ）是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，化简整理，即可得到曲线的方程；
（2）设，联立方程组，得到，（ⅰ）结合弦长公式，求得，进而求得的取值范围；
（ⅱ）由（i）得到的中点坐标为，求得，结合点在线段的中垂线上，可得，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：因为动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，
可得，化简整理得，即曲线的方程为.
【小问2详解】
解：联立方程组，整理得，
设，可得，
且，所以，
（ⅰ）由弦长公式，可得，
即，
因为，所以，的取值范围为；
（ⅱ）由且，
可得的中点坐标为，
所以的斜率，
因为点在线段的中垂线上，可得，解得，
所以存在，使得点在线段的中垂线上.
18. 如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，分别为的中点，是棱上的动点（包含端点）．

（1）请说明当点在何处时，四点在同一平面内；
（2）当点满足时，求三棱锥的体积；
（3）设二面角的大小为，求的最大值．
【答案】（1）当且仅当点位于点的位置时，四点在同一平面内
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）方法一根据面面平行结合线线平行得出四点在同一平面内；方法二应用空间向量法得出即可证明四点共面；
（2）应用空间向量法计算点到平面的距离即可计算三棱锥体积；
（3）方法一应用面面角定义得出的最大值为，方法二应用空间向量法计算二面角计算结合值域求解.
【小问1详解】
方法一：如图，取的中点，连接，

由已知，，，所以，，
易知，当点位于点的位置时，，
此时四点在同一平面内，
平面，
若四点在同一平面内，
则，当点不在点的位置时，
与不平行，从而与不平行，
因此四点不在同一平面内，
所以，当且仅当点位于点的位置时，四点在同一平面内；
方法二：根据已知，以为原点，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，
又因为，
则，
所以，
显然，与不共线，令，
由上可得，
，
于是有解得
此时，，
所以，当且仅当点在点的位置时，四点在同一平面内；
【小问2详解】
由（1），，
设平面的法向量为，
则
不妨设，可得，，
所以为平面的一个法向量，
由已知，当时，可得，则，
所以点到平面的距离为，
在中，，
所以，，；
【小问3详解】
方法一：由（1）可知，四点在同一平面内，

则二面角的平面角与二面角的平面角互补，
所以，
设点到平面的距离为，点到直线的距离为，
则，
在矩形中，，又因为，
则，又因为，
所以，是异面直线与的公垂线，
故当点运动至点时，点到直线距离最小，且，
此时点到平面的距离最大，
即等于点到平面的距离，
所以，的最大值为，
在中，，
边上的高为，
由，得，
即，
所以，，解得，
所以，的最大值为；
方法二：由（2）可知平面的一个法向量为，
设，则，
设平面的法向量为，则
不妨设，可得，，
所以为平面的一个法向量，
则，
令，则，
所以，
所以，当且仅当，即时，取得最小值，
此时，取得最大值．
19. 定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件．
（1）求的值；
（2）当时，比较和0的大小；
（3）若为的极大值点，求的取值范围．
附：参考公式：


【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据函数新定义结合特殊角三角函数值计算求解；
（2）应用定义解裂项相消及不等式的性质证明；
（3）先求出导函数，根据导函数得出函数单调性及极值点计算求参.
【小问1详解】
由题意知，，
；
【小问2详解】
由已知，
当时，，
，
所以
，
当且仅当时，上式取得等号，但不可能成立，
当时，，不等式也成立，
所以当时，；
【小问3详解】
因为，
所以，注意到，
，注意到，
令，
则，注意到，
令，
则，
可知当时，，
则当时，为增函数，即为增函数，
若，即当时，
存在，使得当时，为增函数，即为增函数，
所以在区间上为增函数，
所以不是的极大值点，不符合题意，舍去，
若，即当时，
存在，使得当时，为减函数，即为减函数，
所以，在区间上，，函数单调递减，
在区间上，，函数单调递增，
所以，是极大值点，符合题意，
综上所述，的取值范围为．
生产批次
产品检测结果
合计
次品
合格品
第一批次
10
190
200
第二批次
40
260
300
合计
50
450
500
0.15
0.10
0.05
0.010
2.072
2.706
3.841
6.635