江苏省徐州市沛县五中集团联盟2024-2025学年八年级下学期月考 数学试卷（5月份）（含解析）

这是一份江苏省徐州市沛县五中集团联盟2024-2025学年八年级下学期月考 数学试卷（5月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若点A（1，﹣3）在函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．2D．4
2．（3分）根据分式的基本性质，把分式xx+y(x≠0，y≠0)中的分子、分母的x，y同时扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．改变D．不改变
3．（3分）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（3，4），则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．y的值随x的值增大而增大
C．当y＞0时，x＜0
D．点（6，2）在该图象上
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC AD∥BCB．AB＝DC AD＝BC
C．OA＝OC OB＝ODD．AB∥DC AD＝BC
5．（3分）如图，一幅画装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是2：3，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．1.4−x2.4−x=23B．1.4−2x2.4−2x=23
C．1.4+x2.4+x=23D．1.4+2x2.4+2x=23
6．（3分）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数y=−2x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x2＜x3＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x1＜x2＜x3
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=kx与正比例函数y2=34x的图象交于A（4，m），B两点，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞4B．﹣4＜x＜0或x＞4
C．x＜﹣4或0＜x＜4D．﹣4＜x＜4
8．（3分）已知关于x的函数y＝k（x﹣1）和y=−kx(k≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：
9．（3分）若分式3a+3有意义，则a的取值范围是 ．
10．（3分）若关于x的分式方程xx+2−3=mx+2有增根，则m的值是 ．
11．（3分）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有 ．
12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=3x的图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1 y2．（填“＜”、“＞”或“＝”）
13．（3分）如图，Rt△AOB的顶点O是原点，斜边AB∥x轴，且交y轴于点C，反比例函数y=−2x的图象过点A，反比例函数y=kx的图象过点B．若AB＝3AC，则k的值为 ．
14．（3分）若1a+1b=3，则分式2a−ab+2ba+b= ．
15．（3分）反比例函数y=5x与y=2x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，则△ABO的面积为 ．
16．（3分）关于x的方程mx−1−3=x1−x的解为非负数，则m的取值范围是 ．
17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，连接DE，取DE的中点F，连接OF，若BC＝16，则OF等于 ．
18．（3分）已知xy=23，则x2+y2x2−xy−y2的值为 ．
三、解答题：
19．解下列分式方程：
（1）5x−8x2−9−3−xx+3=1；
（2）xx−1=32x−2−2．
20．（1）先化简，再求值：(1−1x−1)÷x−2x2−1，其中x＝3．
（2）先化简(x−1−3x+1)÷x2+4x+4x2+x，再从﹣1，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值．
21．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，EF∥AD，交于DC于点F．
（1）求证；四边形AEFD是菱形；
（2）如果∠A＝60°，AD＝4，求菱形AEFD的面积．
22．随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐．某玩具商店用3600元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，于是又用9600元再购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的3倍，且单价比第一批便宜10元．
（1）第一批小型无人机的单价是多少元？
（2）若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使全部售完后利润不少于6000元，那么销售单价至少为多少元？
23．某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等．
（1）求每套A型储能锂电池系统的进价；
（2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？
24．“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元．
（1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=4x图象的一支交于A（1，m），B（n，1）两点．
（1）求点A，B的坐标及直线AB的函数表达式．
（2）连接BO并延长，交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC，求△ABC的面积．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m≠0)在第一象限的图象交于A（1，n）和B（3，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOM的面积．
2024-2025学年江苏省徐州市沛县五中集团联盟八年级（下）月考数学试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题：
1．（3分）若点A（1，﹣3）在函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．2D．4
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵点A（1，﹣3）在函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
2．（3分）根据分式的基本性质，把分式xx+y(x≠0，y≠0)中的分子、分母的x，y同时扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．改变D．不改变
【分析】利用分式的基本性质将原式中的分子、分母的x，y同时扩大3倍并计算后即可求得答案．
【解答】解：把分式xx+y(x≠0，y≠0)中的分子、分母的x，y同时扩大3倍得3x3(x+y)=xx+y，
即分式的值不改变，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
3．（3分）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（3，4），则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．y的值随x的值增大而增大
C．当y＞0时，x＜0
D．点（6，2）在该图象上
【分析】根据已知求出k，再根据反比例函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（3，4），
∴k＝3×4＝12＞0，
∴图象位于一、三象限，故A错误；
∴当y＞0时，x＞0，故C错误；
∴在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，故B错误；
点（6，2）满足6×2＝12＝k，所以点（6，2）在该图象上，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的性质是解题关键．
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC AD∥BCB．AB＝DC AD＝BC
C．OA＝OC OB＝ODD．AB∥DC AD＝BC
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．（3分）如图，一幅画装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是2：3，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．1.4−x2.4−x=23B．1.4−2x2.4−2x=23
C．1.4+x2.4+x=23D．1.4+2x2.4+2x=23
【分析】根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是2：3，即可得到相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
1.4+2x2.4+2x=23，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
6．（3分）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数y=−2x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x2＜x3＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x1＜x2＜x3
【分析】根据反比例函数性质解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y=−2x中，k＝﹣2＜0，
∴反比例函数图象上分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
点A（x1，﹣2）在第四象限，x1＞0，
点B（x2，1）点C（x3，2）在第二象限，且1＜2，
∴x2＜x3＜0，
∴x2＜x3＜x1，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=kx与正比例函数y2=34x的图象交于A（4，m），B两点，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞4B．﹣4＜x＜0或x＞4
C．x＜﹣4或0＜x＜4D．﹣4＜x＜4
【分析】显然当y1＜y2时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，结合图形可直接得出结论．
【解答】解：由条件可得B（﹣4，﹣m），
∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞4，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合的思想是解题的关键．
8．（3分）已知关于x的函数y＝k（x﹣1）和y=−kx(k≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由函数y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点，且两个函数的图象所在象限不同，据此可得．
【解答】解：由函数y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点，且函数y＝k（x﹣1）与函数y=−kx(k≠0)的图象经过的象限恰好相反，
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象，根据y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点是解题的关键．
二、填空题：
9．（3分）若分式3a+3有意义，则a的取值范围是 a≠﹣3 ．
【分析】分式有意义的条件即分母不为零，据此即可求得答案．
【解答】解：若分式3a+3有意义，
则a+3≠0，
解得：a≠﹣3，
故答案为：a≠﹣3．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．
10．（3分）若关于x的分式方程xx+2−3=mx+2有增根，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x+2＝0，把x＝﹣2代入整式方程计算求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：x﹣3（x+2）＝m，
由分式方程有增根，得到x+2＝0，即x＝﹣2，
把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2﹣0＝m，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．（3分）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有 24个 ．
【分析】先利用频率估计概率，进而可得出结论．
【解答】解：估计箱子里黄色球有60×40%＝24（个），
故答案为：24个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=3x的图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1 ＞ y2．（填“＜”、“＞”或“＝”）
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴反比例函数y=3x的图象在第一、三象限，
∴在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
13．（3分）如图，Rt△AOB的顶点O是原点，斜边AB∥x轴，且交y轴于点C，反比例函数y=−2x的图象过点A，反比例函数y=kx的图象过点B．若AB＝3AC，则k的值为 4 ．
【分析】设点坐标，利用反比例函数性质、相似三角形性质以及线段比例关系来求解k的值．
【解答】解：设A点坐标为（xa，ya），A在反比例函数y=−2x的图象上，
∴xa•ya＝﹣2，
∵AB∥x轴，
∴A点B点纵坐标相同，即yb＝ya，
∵AB＝3AC，AC＝﹣xa（xa＜0），
则AB＝﹣3xa，
∴B点坐标为（﹣2xa，ya），
B点在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝﹣2xa•ya＝（﹣2）×（﹣2）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题综合考查了反比例函数的性质以及相似三角形（这里由平行关系可推出线段比例关系，本质类似相似）的相关知识．解题的关键在于利用反比例函数上点的坐标特征设点坐标，再结合图形中的线段比例关系建立等式求解未知参数k．此类题目需要学生熟练掌握反比例函数知识，具备一定的数形结合思想，通过合理设元、利用几何关系来解决问题．
14．（3分）若1a+1b=3，则分式2a−ab+2ba+b= 53 ．
【分析】先由1a+1b=3变形得a+b＝3ab，再整体代入求值即可．
【解答】解：根据题意可知，a+bab=3，
∴a+b＝3ab，
∴2a−ab+2ba+b=2(a+b)−aba+b=2×3ab−ab3ab=5ab3ab=53．
故答案为：53．
【点评】本题考查了分式的值，分式的加减法，掌握分式的性质是关键．
15．（3分）反比例函数y=5x与y=2x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，则△ABO的面积为 32 ．
【分析】由于AB∥x轴，可知A、B两点的纵坐标相等，于是可设A点坐标是（a，c），B点坐标是（b，c），于是可得a、b的值，进而可求AB，据图可知△AOB的高是c，再利用面积公式可求其面积．
【解答】解：由于AB∥x轴，设A点坐标是（a，c），B点坐标是（b，c），即纵坐标相同，
那么b=25a，
∴AB=|a−b|=35a，
∵c=5a，
∴S△AOB=12AB⋅c=12×35a×5a=32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是注意A、B两点的纵坐标相等．
16．（3分）关于x的方程mx−1−3=x1−x的解为非负数，则m的取值范围是 m≥﹣3且m≠﹣1 ．
【分析】先解出方程mx−1−3=x1−x的解为x=m+32，再根据题意列出不等式知m+32≥0且m+32≠1，最后求解即可．
【解答】解：mx−1−3=x1−x，
m﹣3（x﹣1）＝﹣x，
m﹣3x+3＝﹣x，
∴x=m+32，
由题意可知m+32≥0且m+32≠1，
解得m≥﹣3且m≠﹣1，
故答案为：m≥﹣3且m≠﹣1．
【点评】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键．
17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，连接DE，取DE的中点F，连接OF，若BC＝16，则OF等于 4 ．
【分析】由题意易得点O为BD的中点，BE＝8，然后根据三角形的中位线可进行求解．
【解答】解：由条件可知BO＝OD，即点O为BD的中点，
∴BE=12BC=8，
∵点F是DE的中点，
∴OF=12BE=4；
故答案为：4．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键．
18．（3分）已知xy=23，则x2+y2x2−xy−y2的值为 −1311 ．
【分析】设x＝2k，得到y＝3k，代入计算即可．
【解答】解：由于xy=23，可设x＝2k，则y＝3k，
∴原式=4k2+9k24k2−6k2−9k2=−1311．
故答案为：−1311．
【点评】本题考查分式的值，掌握分式值的计算方法是正确解答的关键，设待定系数参与运算是常用的方法．
三、解答题：
19．解下列分式方程：
（1）5x−8x2−9−3−xx+3=1；
（2）xx−1=32x−2−2．
【分析】将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：5x﹣8+（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），
整理得：﹣x+1＝﹣9，
解得：x＝10，
检验：当x＝10时，（x+3）（x﹣3）≠0，
故原方程的解为x＝10；
（2）原方程去分母得：2x＝3﹣4（x﹣1），
整理得：2x＝7﹣4x，
解得：x=76，
检验：当x=76时，2（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x=76．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
20．（1）先化简，再求值：(1−1x−1)÷x−2x2−1，其中x＝3．
（2）先化简(x−1−3x+1)÷x2+4x+4x2+x，再从﹣1，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值．
【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）(1−1x−1)÷x−2x2−1
=x−2x−1•(x+1)(x−1)x−2
＝x+1，
当x＝3时，原式＝3+1＝4；
（2）(x−1−3x+1)÷x2+4x+4x2+x
=x2−1−3x+1•x(x+1)(x+2)2
=(x+2)(x−2)x+1•x(x+1)(x+2)2
=x(x−2)x+2，
∵x+1≠0，x≠0，
∴x≠﹣1，0，
当x＝1时，原式=1×(1−2)1+2=−13；
当x＝2时，原式=2×(2−2)2+2=0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，EF∥AD，交于DC于点F．
（1）求证；四边形AEFD是菱形；
（2）如果∠A＝60°，AD＝4，求菱形AEFD的面积．
【分析】（1）判定四边形AEFD是平行四边形，由平行线的性质，角平分线定义推出∠ADE＝∠AED，得到AD＝AE，即可证明四边形AEFD是菱形；
（2）过D作DH⊥AE于H，由sinA=DHAD=32，求出DH＝23，即可得到菱形AEFD的面积＝AE•DH＝83．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠FDE，
∵DF∥AE，
∴∠AED＝∠FDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是菱形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵四边形AEFD是菱形，
∴AE＝AD＝4，
∵sinA＝sin60°=DHAD=32，
∴DH＝23，
∴菱形AEFD的面积＝AE•DH＝4×23=83．
【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，关键是掌握菱形的判定方法，由锐角的正弦定义求出菱形的高DH．
22．随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐．某玩具商店用3600元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，于是又用9600元再购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的3倍，且单价比第一批便宜10元．
（1）第一批小型无人机的单价是多少元？
（2）若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使全部售完后利润不少于6000元，那么销售单价至少为多少元？
【分析】（1）设第一批小型无人机的单价为x元，则第二批小型无人机的单价为（x﹣10）元，第二批小型无人机的数量是第一批的3倍，据此列方程，解方程并检验即可；
（2）求出第一批购进小型无人机40架，第二批购进小型无人机120架．设销售单价为y元，全部售完后利润不少于6000元，据此即可列出不等式并解不等式即可．
【解答】解：（1）设第一批小型无人机的单价为x元，根据题意得分式方程为：
9600x−10=3600x×3，
解得x＝90，
经检验，x＝90是分式方程的解．
答：第一批小型无人机的单价为90元．
（2）∵3600÷90＝40，40×3＝120，
∴第一批购进小型无人机40架，第二批购进小型无人机120架．
设销售单价为y元，根据题意得不等式为：
（y﹣90）×40+（y﹣90+10）×120≥6000，
解得y≥120．
∴销售单价至少为120元．
【点评】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
23．某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等．
（1）求每套A型储能锂电池系统的进价；
（2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？
【分析】（1）设每套A型储能锂电池系统的进价是万元，则每套B型储能锂电池系统的进价是（x+0.5）万元，根据用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A型系统m套，则购买B型系统（15﹣m）套，根据总费用不超过20万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每套A型储能锂电池系统的进价是万元，则每套B型储能锂电池系统的进价是（x+0.5）万元，
依题意得：6x=9x+0.5，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型储能锂电池系统的进价是1万元；
（2）设购买A型系统m套，则购买B型系统（15﹣m）套，
依题意得：m+（1+0.5）（15﹣m）≤20，
解得：m≥5．
答：购买A型系统最少5套．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元．
（1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是（x﹣8）元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买a千克“樱珠”，则购买（60﹣a）千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得a≤50，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是（x﹣8）元，
根据题意得：1134x=630x−8，
解得：x＝18，
经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣8＝10，
答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元；
（2）设购买a千克“樱珠”，则购买（60﹣a）千克“樱桃”，
根据题意得：18a+10（60﹣a）≤1000，
解得：a≤50，
设总利润为w元，
根据题意得：w＝（30﹣18）a+（18﹣10）（60﹣a）＝4a+480，
∵4＞0，
∴w最a的增大而增大，
∴当a＝50时，w有最大值，w最大＝4×50+480＝680，
此时，60﹣a＝10，
答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=4x图象的一支交于A（1，m），B（n，1）两点．
（1）求点A，B的坐标及直线AB的函数表达式．
（2）连接BO并延长，交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC，求△ABC的面积．
【分析】（1）分别代入点A，B的坐标到y=4x，求出m，n的值，设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，代入点A，B的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）过点A作AD∥y轴交BC于点D，先求出直线OB的函数表达式，得出点D的坐标，再根据反比例函数的性质求出点C的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）由条件可得m＝4，
代入B（n，1）到y=4x，得n＝4，
∴A（1，4），B（4，1），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，
代入A（1，4），B（4，1）得，k+b=44k+b=1，
解得：k=−1b=5，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5．
（2）过点A作AD∥y轴交BC于点D，
设直线OB的函数表达式为y＝mx，
由条件可得，4m＝1，
解得：m=14，
∴直线OB的函数表达式为y=14x，
令x＝1，则y=14，
∴D(1，14)，
∴AD=4−14=154，
由条件可知点C与点B关于原点对称，
∴C（﹣4，﹣1），
∴S△ABC=12AD⋅|xB−xc|=12×154×8=15，
∴△ABC的面积为15．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m≠0)在第一象限的图象交于A（1，n）和B（3，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOM的面积．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）利用三角形面积公式直接代入计算即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m≠0)在第一象限的图象交于A（1，n）和B（3，1）两点，
∴m＝1×n＝3×1，
∴m＝3，n＝3，
∴A（1，3），
∴反比例函数解析式为y=3x，
∵点A（1，3）在一次函数y＝kx+4图象上，
∴3＝k+4，
∴k＝﹣1，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）点A（1，3），
∴AM＝1，OM＝3，
∴S△AOM=12×3×1=32．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．题号
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8
答案
B
D
D
D
D
A
B
B