江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考 数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了 字体工整,笔迹清楚， 用适当方法解下列方程等内容，欢迎下载使用。
1. 本试卷满分 100 分, 考试时间 100 分钟;
2. 所有的答案均应书写在答题卷上,按照题号顺序答在相应的位置,超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效；
3. 字体工整,笔迹清楚。保持答题纸卷面清洁。
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是正确的, 请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上.
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．为了了解某中学名学生的视力情况，从中随机抽取了名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为名学生的视力
B．若一个游戏的中奖率是，则做次这样的游戏一定会中奖
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
3．关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．图像经过点B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于轴成轴对称D．当时，随的增大而减小
4．如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，且，则的长为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
6．定义运算：，例如：，则方程的解为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知A，B为反比例函数y1＝图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2=（k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且时，k的值为（ ）
A．﹣B．﹣3C．﹣4D．﹣
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分. 把答案直接填在答题卡相对应的位置上)
9. 若 2x=3y ,则 xy= _____.
10．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ．
11．在一个不透明的盒子有7枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒子随机取出一枚棋子，记下颜色后再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中有 枚白棋子．
12. 已知 a 、 b 实数且满足 a2+b22−a2+b2−12=0 ,则 a2+b2 的值为_____.
13．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为
14．如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长，交于点G，连结.若，，则的长为 .
15. 如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是 ．
16. 已知菱形中，，，边上有点点两动点，始终保持，连接取中点并连接则的最小值是 ．
三、解答题(本大题共 10 小题,共 68 分. 把解答过程填在答题卡相对应的位置上,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)
17. (本题满分 6 分) 用适当方法解下列方程:
(1) x2−6x−7=0 (2) x+22=5x+2
18. (本题满分 6 分)中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
(1)本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。
(2)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数．
(3)若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人．
19. (本题满分 6 分) 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根为负数，求m的取值范围．
20. (本题满分 6 分)在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，．
(1)将绕点逆时针旋转得到，请画出；
(2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
21. (本题满分 6 分)某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
22. (本题满分 6 分)如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为．
(1)的长为多少米？（用含的代数式表示）
(2)若矩形花园的面积为，求的长．
(3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由．
23. (本题满分 6 分)如图，的对角线，相交于点O．E是的中点，连接并延长交于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，求证：．

24. (本题满分 8 分)如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，．
(1)若为边的中点，求的值及点的坐标；
(2)若，求的面积．
25. (本题满分 8 分)如图，正方形的边长为2，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连接，，．
(1)求证：；
(2)设，四边形的面积．
①用含的代数式表示；
②当为等腰三角形时，求的值．
26. (本题满分 10 分)（1）问题探究：如图1，在正方形，点分别在边上，于点，点，分别在边上，．
（1）①判断与的数量关系：______；
②推断：的值为：_______；（无需证明）
（2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点分别在边上，求的值．
西安交通大学苏州附属中学2024-2025初二数学5月月考参考答案
注意事项:
1. 本试卷满分 100 分, 考试时间 100 分钟;
2. 所有的答案均应书写在答题卷上,按照题号顺序答在相应的位置,超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效；
3. 字体工整,笔迹清楚。保持答题纸卷面清洁。
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是正确的, 请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上.
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．为了了解某中学名学生的视力情况，从中随机抽取了名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为名学生的视力
B．若一个游戏的中奖率是，则做次这样的游戏一定会中奖
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
【答案】C
【分析】根据样本容量为所抽查对象的数量，抽样调查，随机事件，即可解答．
【详解】解：A．为了了解某中学名学生的视力情况，从中随机抽取了名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为,不是50名学生的视力，故此项错误；
B．若一个游戏的中奖率是，是概率而不是做次这样的游戏一定会中奖，故此项错误；
C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，正确；
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件是随机事件，故此项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了样本容量，抽样调查，随机事件，解决本题的关键是明确相关概念．
3．关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．图像经过点B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于轴成轴对称D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象经过的点横纵坐标之积，掌握反比例函数的性质．根据反比例函数的性质（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（3）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大进行分析即可．
【详解】解：A、，故反比例函数的图象不过点，故此选项错误，不符合题意；
B、，两个分支分布在第二、四象限，故此选项正确，符合题意；
C、两个分支关于轴成轴对称，说法错误，应是关于原点对称，故此选项错误，不符合题意；
D、当时，随的增大而减小，说法错误，应为当时，随的增大而增大，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
4．如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得．
【详解】解：如图所示，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
当时，
∴，
∴四边形是平行四边，故B选项不合题意；
当时，同理可得，故C选项不合题意，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
当时，，
∴，
∴，则四边形是平行四边，故D选项不合题意
当时不能证明三角形全等，无条件证明四边形是平行四边，故A选项符合题意，
故选：A．
5．如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，且，则的长为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，求出长，再利用平行四边形的判定和性质可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是平行四边形，
∴,
故选D．
6．定义运算：，例如：，则方程的解为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键．
根据新定义得出方程，再解方程，求出其解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，；
故选：A．
7．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，面积，正方形的性质，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，设，则，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到距离与点到距离相等，则，
∴四边形是菱形，
∴，
设，
∴根据勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
∴较大的和较小的面积的比是，
故选：．
8．如图，已知A，B为反比例函数y1＝图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2=（k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且时，k的值为（ ）
A．﹣B．﹣3C．﹣4D．﹣
【答案】A
【分析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，通过证明△CFO∽△OEA，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△COF面积，再利用反比例函数系数k的几何意义，即k与面积之间的关系确定k值.
【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，
∵∠COF+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠COF＝∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴＝（）2，
∵CA：AB＝5：8，AO＝OB，
∴CA：OA＝5：4，
∴CO：OA＝3：4，
∴＝（）2＝，∵S△AOE＝2，
∴S△COF＝，
∴＝，
∵k＜0，
∴k＝-，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解答此题的关键是求出△COF的面积，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积是解答此题的重要途径.
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分. 把答案直接填在答题卡相对应的位置上)
9. 若 2x=3y ,则 xy= _____.
∵2x=3y ,
∴xy=32 .
故答案为: 32 .
10．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．对于一元二次方程有实数根，可得，得，即可求解．
【详解】解：在方程中，，，，
则．
因为方程有实数根，所以，
即，
解不等式，
得．
故答案为：．
11．在一个不透明的盒子有7枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒子随机取出一枚棋子，记下颜色后再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中有 枚白棋子．
【答案】14
【分析】本题主要考查了频率估计概率．根据一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，求出取到黑棋子的概率，再计算盒中约共有棋子数，最后计算白棋子数限可．
【详解】解：取到黑棋子的概率为：，
盒中约共有棋子：（枚），
其中约有白棋子：（枚）．
故答案为：14．
12. 已知 a 、 b 实数且满足 a2+b22−a2+b2−12=0 ,则 a2+b2 的值为_____.
【答案】4
【分析】设=m，原方程可化为，解方程求得m的值，再由≥0确定m的值即可.
【详解】解：设=m，原方程可化为，
解得m=-3或m=4，
∵≥0，
∴=4.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——换元法，把当作一个整体是解决本题的关键.
13．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为
【答案】
【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可．
【详解】解：，
则C的坐标是，
设反比例函数的解析式是，
把C的坐标代入得，
则反比例函数解析式是，
∵上口宽，
∴点F的横坐为，
当时，．
答：整个冷却塔的高是．
故答案为：．
14．如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长，交于点G，连结.若，，则的长为 .
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，平移的性质，连接，根据题意及矩形的判定定理得出四边形为矩形，即可得到，再由平移的性质确定即可求解．
【详解】解：连接，
由平移可得：，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是矩形，
∴，
∴，
故答案为：.
15. 如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是 ．
【答案】2
【分析】设点A的坐标为（a，b），结合AC=2，BD=1，EF=3可把点B、C、D的坐标及k1和k2用含a，b的式子表达出来，利用已知条件列出等式即可求得k1-k2的值．
【详解】设点A的坐标为，则由题意可得点C的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，
∴，BD=，
∵BD=1，
∴，解得：，
∴．
故答案为2．
【点睛】熟悉“反比例函数的图象和性质”及“平行于坐标轴的直线上两点间的距离与它们坐标间的关系”是正确解答本题的关键．
16. 已知菱形中，，，边上有点点两动点，始终保持，连接取中点并连接则的最小值是 ．
【答案】3
【分析】过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．由菱形性质和可证明，进而可得，由BM最小值为BH即可求解．
【详解】解：过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．

∵在菱形中，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴当BM最小时FG最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，
∵在菱形中， ，
∴
又∵在Rt△CHD中，，
∴，
∴，
∴AM的最小值为6，
∴的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．
三、解答题(本大题共 10 小题,共 68 分. 把解答过程填在答题卡相对应的位置上,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)
17. (本题满分 6 分) 用适当方法解下列方程:
(1) x2−6x−7=0 (2) x+22=5x+2
解:(1)因式分解, 得x−7x+1=0
于是得x+1=0 或 x−7=0
即x1=−1,x2=7
(2)方程化为 x2−x−6=0
因式分解, 得 x−3x+2=0
于是得 x−3=0 或 x+2=0
即x1=3,x2=−2
18. (本题满分 6 分)中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
(1)本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。
(2)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数．
(3)若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人．
【答案】(1)50；见解析
(2)
(3)4500人
【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．
（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，再求出混动的人数，进而可补全条形统计图；
（2）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；
（3）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解．
【详解】（1）解：本次调查活动随机抽取人数为（人），
∴混动的人数为人，
补全统计图如下所示：
（2）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（3）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4500人．
19. (本题满分 6 分) 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一根为负数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明一元二次方程是否有实数根，根据判别式来判断即可，证明，则方程总有两个实数根；
（2）用因式分解法求出方程的两根，，，则，，得出答案．
【详解】（1）
∴方程总有实数根；
（2）
若方程的一根为负数，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；还考查了解一元二次方程的方法，有因式分解法、直接开方法、公式法、配方法等．
20. (本题满分 6 分)在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，．
(1)将绕点逆时针旋转得到，请画出；
(2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了位似变换与旋转变换，
（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：如图所示，即为所求

21. (本题满分 6 分)某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
【答案】17米
【分析】过点A作，交CD于点G，交EF于点H，根据题意图像可知，根据相似比可解决本题．
【详解】解：过点A作，交CD于点G，交EF于点H．
由题意得：，，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
答：旗杆的高度为17米．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．
22. (本题满分 6 分)如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为．
(1)的长为多少米？（用含的代数式表示）
(2)若矩形花园的面积为，求的长．
(3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式以及根的判别式.解题的关键在于根据题意列一元二次方程并正确求解．
（1）由题意，知，把的长为，代入即可；
（2）由题意知，，即，求出的取值范围，列出方程求解即可；
【详解】（1）解：由题意，知，
长为，
的长为；
（2）解：由题意知，，即，
解得，
又，即，
，
由题意，知，即，
整理，得，
解得（不合题意，舍去），，
的长为；
23. (本题满分 6 分)如图，的对角线，相交于点O．E是的中点，连接并延长交于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证；
（2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，进一步即可得证．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．

24. (本题满分 8 分)如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，．
(1)若为边的中点，求的值及点的坐标；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解；
（1）先根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可；
（2）设出点D的坐标，点E坐标，根据，得出
【详解】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点，
∴点的坐标为，
代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
点E坐标为
（2）解：∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点，
设点D的坐标为，点E坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去）或，
则点D的坐标为，点E坐标为，
，，
．
25. (本题满分 8 分)如图，正方形的边长为2，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连接，，．
(1)求证：；
(2)设，四边形的面积．
①用含的代数式表示；
②当为等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理：
（1）由线段垂直平分线的性质和正方形的性质可得，，则可证明；
（2）①作于点，证明四边形是正方形，得到，再根据进行求解即可．②分当时，即，当时，即，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接．
垂直平分，
．
又为正方形对角线上一点，
∴由正方形的轴对称性得：．
．
（2）解：①如图2，作于点，
垂直平分，
．
又为正方形对角线上一点，
平分，，
，
∴四边形是正方形，
∴
．
②，
为等腰三角形分两种情况（如图3）：
当时，即，
，
解得：．
．
当时，即，
，
化简得：．
解得：，
，
．
．
综上可得：或．
26. (本题满分 10 分)（1）问题探究：如图1，在正方形，点分别在边上，于点，点，分别在边上，．
（1）①判断与的数量关系：______；
②推断：的值为：_______；（无需证明）
（2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点分别在边上，求的值．
【答案】（1）①= ②1 （2）；理由见解析 （3）
【分析】（1）①证，可得；
②证四边形是平行四边形，进而即可求解；
（2）作，由折叠性质知，证，进而即可求解；
（3）作，连接，证得，由 ， 可得，证，进而即可求解；
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：=，1；
（2）作，
由折叠性质知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）作，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，（舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质、相似三角形的性质及证明、勾股定理等，正确做出辅助线是解题的关键．