广东实验中学2025届高三下学期考前热身训练数学试卷（Word版附答案）

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256 13. 14.
3.【解析】由函数为偶函数，可得，即，解之得，则，
，
故偶函数，符合题意.故选：D.
4.【解析】设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，则由题意得，解得，设圆锥母线与底面所成角为，则，
所以圆锥母线与底面所成角的大小为.故选：A.
5.【解析】由题意可知：，因为，即，
可得，所以在上的投影向量为.故选：B.
6.【解析】设，，
因为，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，函数的图象在点处的切线方程为，即，
因为直线是两函数图象的公切线，所以，由①可得，代入②得，因为，所以，所以，，
所以.故选：C．
7.【解析】由l：得，
由，得，，所以直线，过定点．所以点的中点坐标为，连接AM，则，由题意知点B在以AM为直径的圆上，
所以点B的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H，则，
当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以的最小值为．故选：D.
8.【解析】设，则，故，
设，，则，故，
其中
，
则，解得，负值舍去，
即，故的纵坐标为.故选：C
9.【解析】对于A，因为，所以，
由条件概率公式得，得到，即相互独立，故A正确，对于B.，当三个事件两两独立时，一般不成立．
比如：设样本空间含有等可能的样本点，且，
则，，所以，
即三个事件两两独立，但是，故B错误；对C，当互斥时，；当不互斥时，，C正确；D：
因为，
因为，
所以，因此D正确.故选：ACD
10.【解析】选项A：因为为等差数列，所以，得，
因函数是上的奇函数，，所以是的必要条件，故A正确；
选项B：若，则时满足，此时，故不是的必要条件，故B错误；
选项C：若，满足，但，故不是的必要条件，故C错误；选项D：由且为等差数列
可得，因函数是上的奇函数，
所以，
故，∴是的必要条件，故D正确；故选：AD
11.【解析】因为，则，
因为，所以，
用去替x，所以有，所以有，
取代入得到则，故，
用换x，可得，函数的图象关于对称，故正确；
在上为奇函数，则过，图像向右移动两个单位得到过，
故图像关于对称，;，
而，所以有，则的周期;
又因为图像关于对称，；且函数的图象关于对称，
故，，故C正确.，是由的图像移动变化而来，故周期也为4，因为，所以，，所以，故B错误；，周期为4，所以，，，
故，
故D正确;故选：ACD
13.【解析】因为钝角，所以，又为等腰三角形，所以，在中，由余弦定理可得即，且，解之，得故答案为：．
14.【解析】由题知，
，
，
，
.
故答案为：.
15.（1）依题意，对任意的，，都有，
故对任意的，，， ------------1
所以对任意的，，，即为定值，------------2
所以数列是公差为3的等差数列，------------3
据，，得，，------------4
所以，解得，故，------------5
所以 ------------6
（2）因为，，，------------9
所以，------------12
所以.------------13
16.（1）估计此次知识竞赛成绩的平均数为x，由频率分布直方图可知：------------1，------------2
故此次知识竞赛成绩的平均数为分；------------3
（2）由题意可知，------------4
因为，即，
故，------------5
由题意知，抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，----------6
即，故X的数学期望.------------7
所以抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为16人；------------8
（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，
按照分层抽样，抽取10份，其中分数在，应抽取份，------------9
分数在应抽取，------------10
记事件A：抽测的3份试卷不来自于同一区间；
事件B：取出的试卷有2份来自区间，------------11
则，------------12
，------------13
故.------------14
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.------------15
17.（1）由题知，得，------------1
或，得或，------------2
所以双曲线的方程为：或：．------------4
（2）由（1）知，当时，：，设点，，
联立直线与双曲线得：，------------5
，方程的两根为，，------------6
则，．------------7
而，，则：，：，------------8
因为直线，相交于点，
故，，------------9
消去，整理得：，------------10
即------------12
，------------13
因此，------------14
故点在定直线上．------------15
18.（1）取的中点，连接,------------1
因为，,且的中点，所以，
又平面，故平面，------------2
由于平面，故,------------3
（2）法一：当时，由则，取的中点，连接
故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，------------4
因为故，------------5
设到平面的距离为,到平面的距离为，
由等体积法可得
而------------6
由于故，
所以从而------------7
故到平面的距离为.------------8
法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，过点作平面的垂线，垂足为，
当时，由则，取的中点，
故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，
因为故，
所以由于故，
则，
则，
设平面的法向量
则,，
设到平面的距离为，则.
（3）法一：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，------9
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
故，
，
则,------------10
设平面的法向量为，则
，
取则，------------11
设平面的法向量
,
取则，------------12
设平面平面与的夹角为，
故,
,------------13
令，，
故，------------14
由于，故------------15
当且仅当即时取等号，------------16
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.------------17
法二：延长SE，过B作BM⊥SE,垂足为M，过M作MN⊥SC垂足为M，连接BM ,
由(1)可得，AC⊥平面SBE, 又∵BM⊂平面SBE ∴AC⊥BM
又∵BM⊥SE且AC∩SE=E ∴BM⊥平面SAC
又∵SC⊂平面SAC ∴MB⊥SC
又SC⊥MN, MB∩MN=M ∴SC⊥平面MNB
即MN⊥SC,BN⊥SC
∴∠MNB为平面SAC与平面SBC夹角的平面角，记
设，则在中，
则，
在中，
设，则，
，使得，此时，
且当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
故当即时，有最大值，此时的最小值为.
故平面与平面夹角余弦值的最小值为.
19.（1）fx=csx是0,π2上的“L0函数”， ------------1
理由如下：∵fx=csx，∴f'x=−sinx.
∵x∈0,π2，∴x+π4∈π4,3π4，
∴csx+sinx=2sinx+π4∈1,2， ------------2
∴fx+0−0+1⋅f'x=fx−f'x=csx+sinx≥0在0,π2恒成立，
∴fx=csx是0,π2上的“L0函数”. ------------3
（2）∵gx=ex+x是q,+∞上的“L1函数”，
∴gx+1−2g'x=ex+1+x+1−2(ex+1)=ex(e−2)+x−1≥0
在q,+∞上恒成立，------------4
设ux=ex(e−2)+x−1，则u'x=ex(e−2)+1>0，
∴ux=ex(e−2)+x−1在R上单调递增，且uq=eq(e−2)+q−1≥0. ------------5
又ep+p−1e−2=0，∴ep(e−2)+p−1=0，即up=ep(e−2)+p−1=0. ------------6
∵ux=ex(e−2)+x−1在R上单调递增，uq≥up，∴q≥p. ------------7
（3）∵ℎx=x2−ax，∴ℎ'x=2x−a.
∵ℎx=x2−ax是0,2上的“L2函数”，
∴ℎx+2−3ℎ'x=x+22−ax+2−3(2x−a)
=x2−(a+2)x+(a+4)≥0在0,2上恒成立，
即a(x−1)≤x2−2x+4在0,2上恒成立. -----------8
当x=1时，对任意的a∈R，上式恒成立，符合题意；------------9
当0≤x