辽宁省县域重点高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省县域重点高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列角中，与终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以与终边相同的角是.
故选：B.
2. 为钝角是为第二象限角的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若为钝角，则，则为第二象限角；
反之，若为第二象限角，例如，则不为钝角.
所以为钝角是为第二象限角的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题得在上的投影的数量为.
故选：B
4. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移1个单位B. 向左平移3个单位
C. 向右平移1个单位D. 向右平移3个单位
【答案】A
【解析】将函数的图象向左平移1个单位，得到函数的图象，即的图象.
故选：A
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得①，
由，得②，
①+②得，所以.
故选：C.
6. 受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】D
【解析】由题意可得圆弧六边形的面积为：
①，
圆弧六边形的周长为：，即②，
联立①②，解得，，所以.
故选：D
7. 已知向量，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，所以有实数解，
令，则，
因为，所以，所以，解得.
故选：D.
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由三角函数线可得当时，，又，所以，所以.
故选：C.
其中当时的证明如下：
构造单位圆，如图所示：

则，设，则，过点作直线垂直于轴，交所在直线于点，由，得，所以，
由图可知，
即，即.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于平面向量，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则，的夹角为锐角
C. 若，，，可能垂直
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A项，若，则，故A项正确；
对于B项，若，则，的夹角为锐角或，故B项错误；
对于C项，，令，则，
显然有解，故C项正确；
对于D项，，所以，所以，故D项正确.
故选：ACD.
10. 已知，则可能是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】BD
【解析】因为，即，所以，即，所以，所以是第二象限角或第四象限角.
故选：BD.
11. 如图，在直角梯形中，，，，，动点从顶点出发，以每秒1个单位的速度在梯形的边上沿着的路线运动到点处则停止，当运动时间为秒时，令，则（ ）
A. 的定义域为B.
C. 的最大值为5D. 有5个单调区间
【答案】AC
【解析】由题意可得，所以点所走的总路程为，所以，
故A正确；
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中，
则，，，，
设，则，，
所以.
如图所示：
①当时，，，所以，
即，故B错误；
②当时，，，
所以
③当时，，，
所以.
综上，可知，故C正确；
且在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
共4个单调区间，故D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边经过点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为________.
【答案】
【解析】由角的终边经过点，可得，又由将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则.
故答案为：.
13. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为________.
【答案】
【解析】设函数，，，其最小正周期分别，，，最小公倍数是，所以的最小正周期为.
故答案为：
14. 在中，，，分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________.
【答案】9
【解析】如图所示：
取的中点为，则，
所以，
所以
，
所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）.
故答案为：9
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象；
（2）若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程.
解：（1）列表如下：
再描点连线，得图象如下：
（2）因为，所以，
令，因为为奇函数，
所以，所以，.
又因为，所以当时，，
所以，
所以的对称轴方程为，，
即的对称轴方程为，.
16. 设，已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求.
解：（1）由题得，
因为，所以，
所以，解得或，
又，所以.
（2）当时，，
所以，
所以，，
又因为，所以，
所以.
17. 已知，且，证明：
（1）；
（2）.
解：（1）因为，所以，
两边同时除以，得，即.
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以.
18. 已知函数的部分图象如图所示，.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围.
（1）解：由函数的图象，可得，且最小正周期，
所以，所以，
又由，且点在图象的上升部分，且，
所以，所以.
（2）解：在中，令，且，
则，因为，所以，
当时，满足方程组的值有且仅有四个，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
令，可得必有两个相异零点，
由直线与和，的图象分别有两个交点，
作出直线与和的图象，如图所示，
由图象可得，，即在区间上有两个相异零点，
则满足，解得解得，
所以的取值范围是.
19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作.
（1）若，，求的“完美坐标”；
（2）已知，，证明：；
（3）若，，设函数，，求不等式的解集.
（1）解：由题得，
所以，
所以，
即的“完美坐标”为.
（2）证明：由题知，
所以
即.
（3）解：由（2）得.
因为，
所以，
所以，
，
所以.
令，
则，
所以，
即，
解得（舍去）或，
所以，
即，
所以，
所以，
即不等式的解集为，.0
0
2
0
0
2