新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为复数，则虚部为.
故选：D
2. 已知的边上有一点，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
故选：C.
3. 设是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，，则或与相交，故A错误；
对于B，若，，，则或与异面，故B错误；
对于C，若，，，，则或与相交，故C错误；
对于D，若，，，则，故D正确.
故选：D.
4. 已知向量，若向量与平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，若向量与平行，则，解得.
故选:B
5. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取正四棱台的上下底面的中心，棱的中点，
连接，则分别是正四棱台的高和斜高，
依题意，，解得，
在直角梯形中，，
则，
所以正四棱台的体积.
故选：A
6. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形的周长为
D. 四边形的面积为
【答案】D
【解析】如图可知，四边形的周长为，四边形的面积为.
故选:D.
7. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线，使得三点在同一直线上，在两点用测角仪测得的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在中，，
由正弦定理得，所以，
，
在中，，
所以，
即此建筑物的高度是.
故选：A.
8. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误;
对于B：因为，所以，且，所以,所以或，故有两解，故B错误；
对于C：因为，所以无解，故C错误；
对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；
设，
对于B，由，得，则，
因此，，B正确；
对于C，，
，C正确；
对于D，由，得都是实数，因此，D正确.
故选：BCD
10. 已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 已知，若，则D. 与夹角的余弦值为
【答案】BC
【解析】对于A，易知，所以不垂直，即A错误；
对于B，，可得，可得B正确；
对于C，由且可得，解得，即C正确；
对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误.
故选：BC
11. 如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对A：如图：
连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，平面，平面，所以平面.故A正确；
对B：如图：
因为是正方体棱的中点，所以，，，
所以，同理：，.
所以5点共面，所以平面不成立.故B错误；
对C：如图：

因为是正方体棱的中点，所以，，所以.
平面，平面，所以平面.故C正确；
对D：如图：
因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，
则为的中位线，所以，平面，平面，
所以平面.故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案记录在答题卡上）
12. 已知，，则在方向上的投影为________.
【答案】
【解析】由题意，所以在方向的投影为．
故答案为：．
13. 已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥的母线长为4，则圆锥的底面半径为__________.
【答案】1
【解析】设圆锥的底面半径为，依题意，，解得，所以圆锥的底面半径为1.
故答案为：1
14. 在中，分别是角的对边，的面积为，则的值为___________．
【答案】
【解析】由，可得，
即，解得，
又由余弦定理得，解得，
所以．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）求；
（2）若，求；
（3）若，且是纯虚数，求．
解：（1）；
（2）；
（3）设，则，所以①
，
因为是纯虚数，所以②
由①②联立，解得 或
所以或．
16. 在中，分别是角所对的边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）设向量，向量，且，判断的形状．
（1）解：因为，
所以，
因为，
所以；
（2）解：因为，，且，
所以，
所以，
所以或（舍），
当时，，
所以为直角三角形．
17. 如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，).
（1）当时，用向量，表示向量；
（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值.
（1）解：因为当时，＝，
所以＝ (＋)
＝ [(－)＋(＋)]
＝
＝＋
（2）解：因为＝(＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝
＝＋，
由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，
∴||2＝2＋2＋
＝＝，
因为，所以当时，||2有最小值，
即||有最小值.
18. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．
（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
（1）解：由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，
故预算资金够用．
19. 如图，在棱长为的正方体中，分别是，，
，的中点.
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）求证：.
（1）证明：如图，连接.
分别是的中点，∴.
又，，
∴.
（2）解：由（1）易知.
（3）证明：取的中点，连接，则有.
又，∴.
∴四边形为平行四边形，∴ ，
又，
∴.