2024-2025学年新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数54+3i的虚部为( )
A. −35iB. 35iC. 35D. −35
2.已知▵ABC的边BC上有一点D，且满足BD=3DC，则AD=( )
A. −2AB+3ACB. 34AB+14ACC. 14AB+34ACD. 23AB+13AC
3.设a，b是空间中不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若a//b，b⊂α，a⊂α，则a//α
B. 若a⊂α，b⊂β，α//β，则a//b
C. 若a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则α//β
D. 若α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a//b
4.已知向量a=(6,−2),b=(2,4)，若向量a−b与2a+λb平行，则实数λ的值为( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
5.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，AB=2，A1B1=4，侧面面积为12 3，则该正四棱台的体积为( )
A. 28 23B. 28 2C. 28 33D. 28 3
6.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是( )
A. AB=2
B. A′D′=2 2
C. 四边形ABCD的周长为4+2 2+2 3
D. 四边形ABCD的面积为6 2
7.为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是α和β，CD=a，测角仪器的高度是ℎ.由此可计算出建筑物的高度AB，若α=75°,β=45°，则此建筑物的高度是( )
A. 3+12a+ℎB. 3+14a+ℎC. 3+12a−ℎD. 3+14a−ℎ
8.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A. a=2，c=3，A=π6B. a=2 3，b=6，A=π6
C. a=2，b= 2，c=5D. a=2，b=3，B=π6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1,z2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是( )
A. 若|z1|⩽1，则−1⩽z1⩽1B. 若z1+z2=0，则z1=z2=0
C. z1z2=z1z2D. 若z1>z2，则z1−z2>0
10.已知向量a=(3,−1),b=(1,2)，则下列选项正确的是( )
A. a⊥bB. a+b= 17
C. 已知c=(t,1)，若a→//c→，则t=−3D. a与b夹角的余弦值为 25
11.如图，点A,B,C,M,N是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足MN//平面ABC的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=−1, 3，a⋅b=−5，则b在a方向上的投影为 ．
13.已知球O的表面积与圆锥SO′的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥SO′的母线长为4，则圆锥SO′的底面半径为 ．
14.在▵ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，▵ABC的面积为 32,b=1,A=60°，则b+csinB+sinC的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1−2i．
(1)求|z|；
(2)若z1=z3+4i，求z1；
(3)若|z2| = 5，且zz2是纯虚数，求z2．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且满足a2+b2−c2=ab．
(1)求角C的大小；
(2)设向量a=3sinA,32，向量b=1,−2csC，且a⊥b，判断▵ABC的形状．
17.(本小题15分)
如图，在直角梯形ABCD中，|DA|=2，∠CDA=π3，DA=2CB，∠B为直角，E为AB的中点，DP=λDC(λ∈R,0⩽λ⩽1).
(1)当λ=13时，用向量DC，DA表示向量PE；
(2)求|PE|的最小值，并指出相应的实数λ的值．
18.(本小题17分)
某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域(阴影部分)上A,B两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面(不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面)内距离点B50米的点C
处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB=∠ACD，cs∠ACB= 105．

(1)求sin∠BDC的值；
(2)测得AC=AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
19.(本小题12分)
如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．
(1)求证：PQ//平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF//平面BB1D1D．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.B
5.A
6.D
7.A
8.D
9.BCD
10.BC
11.ACD
12.−52
13.1
14.2
15.解：(1)|z|= 12+(−2)2= 5；
(2)z1=z3+4i=1−2i3+4i=(1−2i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3−4i−6i+8i232−(4i)2=−5−10i25=−15−25i；
(3)设z2=a+bi，
则|z2|= a2+b2= 5，所以a2+b2=5①
zz2=(1−2i)(a+bi)=(a+2b)+(b−2a)i，
因为zz2是纯虚数，所以a+2b=0,b−2a≠0②
由①②联立，解得a=2b=−1或a=−2b=1.
所以z2=2−i或z2=−2+i．

16.(1)解：因为a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12，
因为C∈0,π，
所以C=π3；
(2)解：因为a=3sinA,32，b=1,−2csC，且a⊥b，
所以3sinA−32×2csC=0，
所以sinA=csC=12，
所以A=π6或A=5π6(舍)，
当A=π6时，B=π2，
所以▵ABC为直角三角形．

17.(1)解：因为当λ=13时，DP=13DC，
所以PE=12(PA+PB)
=12[(DA−DP)+(PC+CB)]
=12(DA−13DC+23DC+12DA)
=16DC+34DA
(2)因为PE=12(PA+PB)
=12[(DA−DP)+(PC+CB)]
=12[DA−λDC+(1−λ)DC+12DA]
=12[32DA+(1−2λ)DC]
=34DA+1−2λ2DC，
由于|DA|=2，∠CDA=π3，DA=2CB，知|DC|=|DA|=2，
∴|PE|2=916DA2+(1−2λ)24DC2+34(1−2λ)DA⋅DC
=4λ2−7λ+194=4λ−782+2716，
因为0≤λ≤1，所以当λ=78时，|PE|2有最小值2716，
即|PE|有最小值3 34．

18.(1)解：由∠ACB=∠ACD,cs∠ACB= 105，
得cs∠BCD=2cs2∠ACB−1=2×1025−1=−15，
则sin∠BCD= 1−cs2∠BCD=2 65，
在▵BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=BCsin∠BDC，即702 65=50sin∠BDC，
所以sin∠BDC=2 67．
(2)在▵BCD中，由余弦定理得702=CD2+502−2×50CD×−15，
整理得CD2+20CD−2400=0，
解得CD=40(CD=−60舍去)．
在▵ACD中，AC=AD，
所以cs∠ACD=cs∠ADC=cs∠ACB= 105，
又 105=20AC，
解得AC=AD=10 10．
在▵ABC中，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB=1000+502−2×10 10×50× 105=1500，
所以AB=10 15