2025年中考数学专项复习讲义专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（原卷版）

这是一份2025年中考数学专项复习讲义专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（原卷版），共24页。试卷主要包含了阿基米德折弦模型，婆罗摩笈多模型等内容，欢迎下载使用。
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.阿基米德折弦模型
【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。
如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。

图1 图2 图3 图4
常见证明的方法：
1）补短法：如图2，如图，延长DB至F，使BF=BA；
2）截长法：如图3，在CD上截取DG=DB；
3）垂线法：如图4，作MH⊥射线AB，垂足为H。
例1．（2023·广东·统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °．
例2．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为( )
A．B．C．D．
例3．（2023上·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程
证明：如图2，在上截取，连接，，和
是弧的中点，
∴，
……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
(3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.
例4．（2023·江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，∴……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：（2）如图3，已知内接于，，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（3）如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，连接，，于点E，的周长为，，请求出的长．
例5．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
模型2.婆罗摩笈多（定理）模型
【模型解读】婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家。
婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。

图1 图2 图3
如图1，ABCD为圆内接四边形，对角线AC和BD垂直相交，交点为E，过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD交于点G；则点G是AD的中点。
如图2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延长线于点H，（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，则G为BE中点。
2、如图3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延长线取点H，使得AF=FH；（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F为CD中点，则AG⊥BE。
例1．（2023·浙江·九年级专题练习）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．
布拉美古塔定理
婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证．
已知：如图，在圆内接四边形中，对角线，垂足为P，过点P作的垂线分别交，于点H，M． 求证：M是的中点．
任务：(1)请你完成这个定理的证明过程．(2)该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是 命题．（填“真”或“假”）。(3)若，求的长．
例2．（2023·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________ 证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
课后专项训练
1．（2023·浙江温州·校考三模）在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，苏格兰数学家罗伯特·西姆森发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂线的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线”．如图，半径为4的为的外接圆，过圆心O，那么过圆上一点P作三边的垂线，垂足E、F、D所在直线即为西姆森线，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023山东·校考二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．
3.（2023春·山东威海·九年级校联考期中）早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．
某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，是的中点，过点作，垂足为，小明通过度量、、的长度，发现点平分折弦，即．小丽和小军改变折弦的位置发现仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：
小军采用了“截长法”（如图2），在上㵶取，使得，……
小丽则采用了“补短法”（如图3），延长至，使，……
小明采用了“平行线法”（如图4），过点作，交圆于点，过点作，……
(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；
(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，内接于（A、B、C均是格点），点A、D关于对称，连接并延长交于点，连接．
①请用无刻度的直尺作直线，使得直线平分的周长；②求的周长．
4．（2023·浙江嘉兴·九年级校联考期中）阿基米德折弦定理：如图1， 和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和．∵M是的中点， ∴
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边内接于，，D为上 一点, ，与点E,则的周长是 ．
5．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．

6．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整；
（3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题．
7．（2023·江苏宿迁·统考二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．
8．（2023·山西太原·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务
任务：（1）材料中划横线部分短缺的条件为： ；
（2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性：
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，① ．求证：② ．证明：
8．（2023·广东佛山·统考三模）探索应用
材料一：如图1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC边上的高为 ，用a．c和θ表示△ABC的面积为 ．
材料二：如图2，已知∠C＝∠P，求证：CF•BF＝QF•PF．
材料三：蝴蝶定理（ButterflyTherem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早出现在1815年，由W．G．霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶．
定理：如图3，M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，连结AD和BC交PQ分别于点E和F，则ME＝MF．
证明：设∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，
∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y
由即
化简得：MF2•AE•ED＝ME2•CF•FB 则有： ,
又∵CF•FB＝QF•FP，AE•ED＝PE•EQ，
∴，即 即，从而x＝y，ME＝MF．
请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题：
如图4，B、C为线段PQ上的两点，且BP＝CQ，A为PQ外一动点，且满足∠BAP＝∠CAQ，判断△PAQ的形状，并证明你的结论．
9．（2022·河南驻马店·统考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）．
又∵，∴．
∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）．
∵，∴（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______；
③依据3指的是______；④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性．
10．（2022·河南安阳·统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________．
(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性．
11．（2023·山东济宁·统考二模）阅读与思考；
（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定理的证明：
已知：如图1，四边形ABCD内接与圆O，对角线AC⊥BD于点M，F是AD中点，连接FM并延长交BC于点E，求证：ME⊥BC
（2）已知如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD 交BC于点P，作ON⊥CD于点N，延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA并求PN的长．
12．（2023·北京昌平·九年级统考期末）已知：对于平面直角坐标系中的点和，的半径为4，交轴于点A，，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中点，我们把这样的点叫做关于的“折弦点”．
(1)若，①点，，中是关于的“折弦点”的是______；
②若直线（）上只存在一个关于的“折弦点”，求的值；
(2)点在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出的取值范围．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）__________．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
14．（2023.浙江九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，．组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
15．（2023.重庆九年级期中）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．
命题：如图1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接．求证：．
证明思路：如图2，将绕点逆时针旋转至．，，与重合．，，点、、是一条直线．
根据，得证，得．
（1）特例应用：如图1，命题中，如果，，求正方形的边长．
（2）类比变式：如图3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接．写出、、之间的关系式，并证明你的结论．
（3）拓展深入：如图4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，．①如图5，连接、，求证：，；
②若点在（点不与点、、、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、、之间的等式关系．
16．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
【理解应用】（1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则______；
【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；
【变式探究】（3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则______________．
17．（2023·福建泉州·九年级校考期中）材料：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，∵M是的中点，∴，……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知内接于，D是的中点，依据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为__________；
(3)如图4，已知等腰内接于，D为上一点，连接于点E，的周长为，请求出的长．
18．（2023·山西·九年级专题练习）阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1，是的弦，点在上，于点，点在弦上且，在上取一点，使，连接，则．小明思考后，给出如下证明：如图2，连接、、、．
∵，∴（依据1） ∴
∵ ∴（依据2）…
图1 图2
任务：(1)写出小明证明过程中的依据：依据1：________ 依据2：________
(2)请你将小明的证明过程补充完整；(3)小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接、、、．请你按照小亮的证明思路，写出证明过程；(4)结论应用：如图4，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线与相切于点，过点作于点，其余条件不变，若，且是的中点，则____．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：
如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，．
∵是弧的中点，
∴．…


婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
图1
古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则．
证明：∵，，∴
∴，．∴．
∵，∴．（依据）
又∵，∴．∴．……
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°
∴∠CBD＝∠CME ∴ ，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF ∴AF＝MF…
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知内接于，点P在上（不与点A，B，C重合），过点P分别作，，的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）：
如图（1），连接，，，，取的中点Q，连接，，则，（依据1）
∴点E，F，P，C四点共圆，∴．（依据2）
又∵，∴．
同上可得点B，D，P，E四点共圆，……
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下：已知：如图，四边形ABCD内接与圆O对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于F，求证：MF=DF
证明∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，即F是AD中点．