2025届中考数学模拟卷 【山西专用】

这是一份2025届中考数学模拟卷 【山西专用】，共24页。
【满分120分 考试时间120分钟】
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.的相反数是( )
A.B.2025C.D.
2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据用科学记数法表示为( )
A.B.C.D.
3.下列计算正确的是( )
A.B.C.D.
4.若一元二次方程有两个实数根,则k的值不可能是( )
A.B.C.2D.3
5.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图2是其示意图,其中、都与地面平行,,,已知与平行,则的度数为( )
A.B.C.D.
6.图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图.嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是( )
A.B.C.D.
7.如图，点A是射线()上一点，过点A作轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线交CD边于点E，则的值为( )
A.B.C.D.1
8.如图,在扇形中,以点A为圆心,为半径画弧,交于点C.若,则图中阴影部分的面积是( )
A.B.C.D.
9.如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成.为各多边形顶点，已知正六边形的边长为1，则四边形的面积为( )
A.B.C.D.
10.如图,正的边长为1,点P从点B出发,沿方向运动,于点H,下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像(拐点左右两段都是抛物线的一部分),以下判断正确的是( )
A.函数图象的横轴表示的长
B.当点P为中点时,点H为线段的三等分点
C.两段抛物线的形状不同
D.图象上点的横坐标为时,纵坐标为
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请把答案填在题中横线上）
11.分解因式：______.
12.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.则竿长____________尺.
13.如图,是等腰直角三角形,,,将绕点O旋转,得到,此时点的坐标为______.
14.如图,在中,,以点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交,于点D,E,再分别以点D,E为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在的内部相交于点P,作射线交于点F.已知,,则的长为______.
15.如图,在中,,,若点D、E分别是、边上的两个动点,连接、,且,则的最小值为____________.
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题共2小题，每小题5分，共10分）
(1)计算：；
(2)先化简,再求值：,其中x,y满足.
17.（7分）某中学要新建一块篮球场地(如图所示),要求：①篮球场(阴影部分)的长和宽分别为,；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为.
(1)求安全区域的宽度.
(2)某公司希望用45万元承包这项工程,该中学认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以36.45万元达成一致.若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
18.（7分）如图,是中边上的高.
(1)利用尺规作中边上的高,交于点O；(保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)若,求证：.
19.（9分）某校组织开展主题为“节约用水,共建绿色校园”的社会实践活动.对全校七年级和八年级学生开展节约用水知识测试,随机在两个年级中分别抽取20人的测试成绩进行统计分析(满分为100分).测试成绩为,并绘制相关统计图(不完整),请你根据相关信息完成下列任务：
信息1
七年级成绩：84,78,98,92,98,92,69,92,89,89,85,84,83,79,92,79,83,78,92,58.
信息2
八年级成绩在之间的数据为：89,88,85,81.
信息3
七年级抽取同学的成绩频数分布直方图和八年级抽取同学的成绩频数分布扇形统计图如下：
(1)填空：_____,并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图；
(2)请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表：
(3)若该校七年级和八年级分别有学生680人,测试成绩90分以上(含90分)为优秀,则两个年级达到优秀的人数一共大约有多少人？
20.（9分）如图,为的直径,C为上一点,,交于点E,且,连接.
(1)求证：是的切线；
(2)F为上一点,连接,若,,,求的半径.
21.（8分）图1是某银行柜台的一款高清视频设备，图2是该设备在使用时放置在水平桌面上的示意图.已知垂直于水平桌面l，距离桌面的点C处有一个摄像头，点A，B，C，D，E在同一平面内.若摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的长.（参考数据：，，）.
22.（12分）滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光.该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来.某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏.建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点D出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点F处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点M为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功.已知碗池边缘，均垂直地面，点N与点B关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线.
(1)求“U”型碗池最低点到地面的距离；
(2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点M，求此抛物线的解析式；
②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围.
23.（13分）【发现问题】如图1,是等边三角形,点E在边上,连接,以为边向下作等边三角形,连接.
(1)判断和的位置关系,并说明理由.
(2)探究,和的数量关系.
【问题拓展】
(3)如图2,是等边三角形,点E在边上,点D在边上,连接,以为边向下作等边三角形(点F在线段下方),连接.探究,和的数量关系.
(4)如图3,在菱形中,,,点P为的中点,点E为线段延长线上一点,连接交于点F,以为边向上作等边三角形,连接.若时,请直接写出的长.
答案以及解析
1.答案：B
解析：的相反数是2025，
故选：B
2.答案：B
解析：.
故选B.
3.答案：D
解析：A.，原选项计算错误，不符合题意；
B. ，原选项计算错误，不符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D.
4.答案：D
解析：∵一元二次方程有两个实数根,
∴,
解得：,
∴k的值不可能是3,
故选：D.
5.答案：B
解析：,
,
、都与地面平行
,
,
在中,,
.
故选：B.
6.答案：C
解析：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图：
由图可知，嘉嘉通过入口后一共有6种不同的可能路线，嘉嘉是任选一条道路，则走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有4种可能，进入B展厅的有2种可能，
进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是：.
故选：C.
7.答案：A
解析：设点A的坐标为：，
∵点A在双曲线上，
，
即反比例函数的解析式为：，
，
点C，D，E的横坐标为：，
把代入反比例函数得：
，
即，，
，
故选：A.
8.答案：A
解析：连接,,过C作于D,
由题意知：,
∴是等边三角形,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴
,
故选：A.
9.答案：B
解析：如图，连接、，，，过A作于点J，
由正六边形的性质得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，即点H、G、F共线，
同理：点G、F、D共线，
∴H、G、F、D共线，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
同理：，
∴，，
∴，
同理可得，
∴四边形是菱形，是等边三角形，
∵，
∴，，
∴四边形的面积为.
故选∶B.
10.答案：D
解析：∵在两段函数中,
∴点P点C重合.
∵等边的边长为1,,
∴,.
∴,
∴.
∵符合所给点.
∴横轴表示的长,故A错误；
如图：作于点D.
又∵是等边三角形,
∴.
∵,
∴.
∵P为中点,
∴.
∴.
∴.
∴点H为的四等分点,故B错误；
当P在上时,为x,则,
∴.
当P在上时,为x,则,
∴,
∴.
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等,
∴形状相同,故C错误；
当时,点P在上,
∴,故D正确.
故选D.
11.答案：
解析：
；
故答案为：.
12.答案：15
解析：设绳索长x尺，则竿长尺，
依题意，得： .
解得：，

所以杆长15尺，
故答案为：15.
13.答案：
解析：过点A作轴于点C,
是等腰直角三角形,,,
是的中点,,
,
,
将绕点O旋转,得到,此时点与点A关于原点O对称,
点的坐标为.
故答案为：.
14.答案：
解析：过F作于G,
由作图得：平分,,,
∴,
在中根据勾股定理得：,
,,
,
,
设,则,,
在中,根据勾股定理得：
,
即：,
解得：,
,
在中根据勾股定理得：.
故答案为：.
15.答案：
解析：作交于F,
∵,,
∴,,
则,
∵,
∴,
由三角形外角可知,,
∴,
∴,
∴,
设,,,则,,
∴,整理得：,即：,
∵,
∴,
即：的最小值为.
故答案为：.
16.答案：(1)
(2),2
解析：(1)原式；
(2)原式
；
∵,
∴,
∴原式.
17.答案：(1)安全区域的宽度为2米
(2)每次降价的百分率为
解析：(1)设安全区域的宽度为x米,由题意得,
,
整理得,
解得,(不符合题意,舍去),
答：安全区域的宽度为2米；
(2)设每次降价的百分率为a,由题意得,
,
解得(舍去),,
答：每次降价的百分率为.
18.答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)如图,即为所求；
(2)证明：是中边上的高,是中边上的高,
,
,
,
在和中,
,
,
,,
,
,即.
19.答案：(1)45,图见解析
(2)①92；②88.5
(3)人
解析：(1)∵,
∴,
∴.
七年级成绩在的有：84,89,89,85,84,83,83,共7人,
(2)∵92出现了5次,出现的次数最多,
∴七年级的众数是92.
∵,
∴八年级成绩的中位数在之间,
∵之间的数据从小到大排列为：81,85,88,89,
∴八年级的中位数为.
故答案为：92,88.5；
(3)(人),
答：两个年级达到优秀的人数一共大约544人.
20.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：如图,连,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
为的半径,
为的切线；
(2)如图,延长交于G点,由(1)知,
,
,
,
,
,
在中,根据勾股定理得：,
设半径为r,则,
,
.
的半径为.
21.答案：
解析：如图，过点C作于点G，过点E作于点F，
则，，
设，则，
在中，
，
，，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得（不合题意，舍去），，
.
答：桌面上可拍摄区域的长为.
22.答案：(1)“U”型碗池最低点到地面的距离为米
(2)①；②
解析：∵点N与点B关于原点对称，米，米，
∴米，
∴米，
∵米，
∴，
∴两点关于抛物线对称轴对称，
∴，
将代入，则，
解得：，
则“U”型碗池最低点到地面的距离为米；
(2)解析：①由(1)知“U”型碗池抛物线解析式为，
∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，
设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，
过点M作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵点M为斜坡的中点，
∴，即，
∴米，米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴此抛物线的解析式为；
②由①知，
∵，
根据题意：，
解得：；
∴若此次挑战成功，b的取值范围为.
23.答案：(1),理由见解析
(2),过程见解析
(3),过程见解析
(4)3
解析：(1).
理由如下：
和都是等边三角形,
,,,
,
.
又,
,
.
(2),
,
,
,和的数量关系是.
(3)如图,在边上截取,连接,可知为等边三角形,
.
为等边三角形,
,,
,
.
又,
,
,和的数量关系为.
(4)
如图,过点F作,交于点H.
在菱形中,,,点P为的中点,
为等边三角形,
,,
为等边三角形,
.
∵
∴
∴
,
∴
是的中位线.
,
.
在等边三角形中,,,
.
,
.
又,,
,
.
平均数
众数
中位数
方差
七年级
84.7
①________
84.5
67.21
八年级
83.7
96
②________
183.68