2024—2025学年浙江杭州部分学校高一数学下册（6月）阶段性考试试卷【含答案】

这是一份2024—2025学年浙江杭州部分学校高一数学下册（6月）阶段性考试试卷【含答案】，共13页。试卷主要包含了 若， 已知向量，，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，再根据模长公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C
2. 某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的定义可求得该组数据的第百分位数.
【详解】数据、、、、、、、、、共个数，
因为，因此，该组数据的第百分位数为.
故选：C.
3. 已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.
【详解】由条件可知，，
由,解得.
故选:C.
4. 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断.
【详解】设，在平面内作，
因为平面平面，所以，
因为，所以∥，
因为，，
所以，
而当平面平面，直线，时，与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
5. 已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和方差公式计算可得答案.
【详解】平均数为，
方差为
，
故选：C.
6. 在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案.
【详解】由于,，故有，解得，
又，则,
故选：A．
7. 从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得2分的涂法种数，求得所求概率．
【详解】随机地填涂了1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14种涂法，
得2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种，
故能得2分的概率为．
故选：B．
8. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案.
【详解】设球O的半径为R，的外心为，
由题意得外接圆半径为，面积为，
所以，
所以最大值，
所以，即，解得，
所以球O的表面积为.
故选:A.
二、多选题
9. 掷一枚骰子，记事件为掷出的数大于4 ，事件为掷出偶数点，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C. 事件与事件为相互独立事件
D. 事件与事件对立
【答案】BC
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式可得，，即可判断B项，利用概率的加法公式可判断A项，利用相互独立事件的定义可判断C项，利用对立事件的定义可判断D项.
【详解】解：由题可知，事件的概率为，事件的概率为，故B项正确；
因为，故A项错误；
因为事件表示“掷出的数大于4”且“掷出偶数点”，即“掷出6”，所以，
又，故事件与事件为相互独立事件，故C项正确；
因为，故事件与事件不是对立事件，故D项错误.
故选：BC.
10. 已知向量，，下列说法正确的是（）
A. B.
C. 与向量平行的单位向量是D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量的坐标表示逐一判断即可.
【详解】选项A：，，所以，A正确；
选项B：，所以，B错误；
选项C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误；
选项D：向量在向量上的投影向量为，D正确；
故选：AD
11. 今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（）
A. 《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数
B. 《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C. 《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D. 《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图表信息逐一判断即可.
【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确;
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误；
因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数，
因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
【答案】5
【解析】
【详解】 由复数在复平面内对应的点分别为，
又三点是共线的，所以．
13. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为_______________.
【答案】##45
【解析】
【分析】采用平移法，找到异面直线与所成角或其补角，解三角形即可得答案.
【详解】在正方体中，因为,
故和所成角即为异面直线与所成角或其补角，
在中，，
故异面直线与所成角的大小，
故答案为：
14. 圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算与锐角三角形外接圆的相关性质即可求解.
【详解】依题意，设中点，的中点为，则垂直平分，垂直平分，
则.
以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图，
为中垂线交点，连接，由三角形为锐角三角形，
根据临界位置及图形可知，而，
所以，则范围是．
故答案为：.
四、解答题
15. （1）求方程的根，并判断它们是否共轭；
（2）若复数满足，求的范围.
【答案】（1），，它们是共轭复数；（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法和进行求解，再利用共轭复数的定义判断即可; （2）设，可得，，故将问题转化为点到圆距离的范围，利用距离公式求解即可.
【详解】因为，配方可得，
所以，即，，
所以方程的根为，，它们是共轭复数.
（2）设，由于，则，
所以，所以，
可将问题转化为点到圆上点距离的范围，
由于到圆圆心的距离为，
所以点到圆距离的最大值为，
点到圆距离的最大值为，
故的范围为
16. 如图，正方形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）若，求点F到平面BDE的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由体积公式计算底面半径，再有表面积公式求解；
（2）证明平面，再有等体积法得出点F到平面BDE的距离.
【小问1详解】
设圆柱的底面半径为，则，解得.
则圆柱的表面积为.
【小问2详解】
连接，因为，所以，设点F到平面BDE的距离为，
易知，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以，
，，
因为，所以.
即，解得.
17. 现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.
【答案】（1），这200条鱼汞含量的样本平均数为；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率之和等于1得出，进而由平均数的公式求解即可；
（2）求出样本中汞含量在内的频率，利用频率进行估计；
（3）由概率的乘法公式计算甲乙两人购买的鱼汞含量有超标的概率，进而得出所求概率.
【小问1详解】
由，解得.
则这200条鱼汞含量的样本平均数为.
【小问2详解】
样本中汞含量在内的频率为.
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标.
【小问3详解】
由题意可知，样本中汞含量在内的频率为.
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为.
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为.
18. 直角梯形ABCD中，，，为CD的中点，BE与AC交于点.
（1）用表示；
（2）设，求实数的值；
（3）求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算，用表示；
（2）用表示，由三点共线，求实数的值；
（3）利用向量数量积求向量的夹角.
小问1详解】
.
【小问2详解】
，由三点共线，有，得.
【小问3详解】
，
，
，
则，所以.
19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.
问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.
（1）求角C；
（2）若点D满足，且，求的面积的最大值.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据所选的条件，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可求角C；
（2）利用向量法或余弦定理，结合基本不等式求的面积的最大值.
【小问1详解】
若选①：由正弦定理得，
在中，，所以，
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
若选②：由正弦定理得，
在中，，
所以
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
小问2详解】
方法一：由，可得，
两边平方可得，
即，
所以，当且仅当时取“＝”，
所以，所以.
方法二：由角C余弦定理可得③，
由结合余弦定理可得
，整理得④，
由③可得，当且仅当时取“＝”，
所以，所以即.