2024—2025学年四川南充高一数学下册（7月）期末考试【含答案】

这是一份2024—2025学年四川南充高一数学下册（7月）期末考试【含答案】，共25页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.，则该组数据的第35百分位数为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（）
A. B. C. D. 1
2. 若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．则该组数据的第35百分位数为（）
A. 17B. 20C. 23D. 25
3. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（）
A若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 的内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则的值为（）
AB. C. D. 2
6. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（）
A. B. C. D.
7. 在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（）
A. B. C. D.
8. 如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球表面积为，则此三棱锥的体积为（）
A. 1B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数，则下列说法中正确的有（）
A.
B. 的一条对称轴方程为
C. 的一个对称中心为
D. 的单调递增区间为，
10. 正方体中，，是中点，则下列说法中正确的有（）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 平面
C. 过，，三点作正方体的截面，则截面面积为
D. 若为正方体对角线上的一个动点，则最小值为
11. 在中，内角，，对边分别为，，，则下列说法中正确的有（）
A. 若，，则周长的最大值为18
B. 若，，则面积的最大值为
C. 若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3
D. 若，，为的中点，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（14题第一空2分，第二空3分）
12. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是__________．
13. 如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则__________．
14. 已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________．
第Ⅱ卷
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求与夹角的余弦值．
16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；
（3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数．
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值．
18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，．
①求的面积；
②若，求．
19. 对于平面向量，定义“变换”：，
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：．
数学试卷答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法即可得到答案.
【详解】.
故选：C.
2. 若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．则该组数据的第35百分位数为（）
A. 17B. 20C. 23D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合百分位数的概念及计算方法，即可求解.
【详解】这组数据有10个数，所以，
则该组数据的分位数为第4个数据，
故选：B.
3. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将条件式平方，根据同角三角函数关系式，结合正弦二倍角公式即可得解.
【详解】若，
两边同时平方可得，
即，
由正弦二倍角公式及同角三角函数关系式可知，
故选：B.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及正弦二倍角公式的简单应用，属于基础题.
4. 对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中线面之间的位置关系及性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则或或相交，故C错误；
对于D，若，则或，故D错误.
故选：A.
5. 的内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则的值为（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，先求出，再结合正弦定理，即可求解．
【详解】，
，
，，
则由正弦定理可得，．
故选：C．
6. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得.
【详解】因为向量与的夹角是，且，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
7. 在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三点共线定理，依题意可得，，根据平面向量三点共线定理计算可得.
【详解】由，
由已知，则，
根据平面向量三点共线定理得，解得.
故选：A
8. 如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】因为，，所以，
，
设外接圆的半径为，圆心为，则，即，
设三棱锥外接球的半径为，球心为，则，解得（负值已舍去）；
因为平面，所以，
即，即，解得（负值已舍去）；
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找到球心位置，求出底面外接圆半径和外接球半径，再根据勾股定理求出棱锥的高.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数，则下列说法中正确的有（）
A.
B. 的一条对称轴方程为
C. 的一个对称中心为
D. 的单调递增区间为，
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据三角恒等变换分析判断即可；对于BC：代入检验，结合对称性的性质分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解.
【详解】对于选项A：，故A正确；
对于选项B：因为为最小值，
所以的一条对称轴方程为，故B正确；
对于选项C：因为为最大值，
所以不是的对称中心，故C错误；
对于选项D：令，解得，
所以的单调递增区间为，，故D正确；
故选：ABD.
10. 正方体中，，是的中点，则下列说法中正确的有（）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 平面
C. 过，，三点作正方体的截面，则截面面积为
D. 若为正方体对角线上一个动点，则最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；利用线面平行的判定定理和线面垂直的性质可判断B选项；作出截面，并计算出截面面积，可判断C选项；将、延展至同一个平面，由、、三点共线时，取最小值可判断D选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，因为，则异面直线与所成角为或其补角，
因为，且，，
则，
所以，，
故异面直线与所成角的余弦值为，A正确；
对于B选项，连接交于点，连接，
因为四边形为正方形，，则为的中点，
又因为为的中点，所以，，
又因为平面，平面，所以，平面，
若平面，则，根据正方体性质知四边形为矩形，
且，则其对角线与不垂直，则B不正确；
对于C选项，设平面交棱于点，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因为，则，因为，故四边形为平行四边形，
所以，，故为的中点，所以，，
又因为，则，所以，四边形为平行四边形，
因为平面，平面，所以，，
所以，四边形为矩形，且其面积为，C正确.
对于D选项，将、延展至同一个平面，如下图所示：
且，，
结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值，
即，
易知，，，
，则在中，，
则，则
，
则由余弦定理有
故最小值是，D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是将平面、延展至同一个平面，再结合三角恒等变换和余弦定理即可得到最小值.
11. 在中，内角，，对边分别为，，，则下列说法中正确的有（）
A. 若，，则周长的最大值为18
B. 若，，则面积的最大值为
C. 若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3
D. 若，，为的中点，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面积公式可判断AB；根据角平分线的性质及余弦定理，结合二次函数求解最值判断C，根据余弦定理所得方程进行相加即可判断D.
【详解】对于A，由余弦定理可得，
即，即，
即，则，解得，
当且仅当时，等号成立，
则周长的最大值为18，所以A正确；
对于B，由余弦定理可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为，故B错误；
对于C，设，，则，，
和中，分别运用正弦定理，得和.
因为，所以，即，所以，
由余弦定理可得，
所以，
，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为3，所以C正确；
对于D，设，
中利用余弦定理得，①
在中利用余弦定理得
，②
则①②有，解得，则，则D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是根据两角互补，则其余弦值和为0，再结合余弦定理即可得到方程，解出即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（14题第一空2分，第二空3分）
12. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是__________．
【答案】
【解析】
【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得.
【详解】把直观图还原为原图形，如图所示，
则，
所以.
故答案为：.
13. 如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】先证明为中点，再利用转化法求得，代入数据即可.
【详解】因为，则为中点，
则，则，
则，
则.
故答案为：3.
14. 已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________．
【答案】 ①. ##0.75 ②.
【解析】
【分析】空1：作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解.
【详解】如下图，过点作，连接，
结合题意可知为的中点，且，
所以即为二面角的平面角，由题意可知，.
因为，，所以，，
所以，且，进而得到，
因为，则异面直线与所成角即为或其补角，
在中，由余弦定理可得，
则异面直线与所成角的余弦值是；
取的中点，连接，因为，，
所以，，则即为所求二面角的平面角，
在中，因为，，
所以，同理，
在中，由余弦定理可得，
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是作出二面角所表示的平面角，再结合勾股定理和余弦定理即可.
第Ⅱ卷
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可；
（2）根据向量数量积得到方程，解出，再利用向量夹角公式得到答案.
【小问1详解】
因为，所以，
解得：或.
【小问2详解】
因为，
所以，解得：，
所以，
，
所以与夹角的余弦值为.
16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；
（3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数．
【答案】（1），
（2）72.9 （3）
【解析】
【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可；
（2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程，解出即可；
（3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案.
【小问1详解】
由题意知，
解得.
估计这200名员工所得分数的平均数
，
.
【小问2详解】
的频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为，
所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.
【小问3详解】
的人数：，
的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：.
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用中位线得，再利用线面平行的判定即可；
（2）利用线面垂直的性质得，再证明，最后根据面面垂直的判定即可证明；
（3）取的中点，连接，，根据线面角定义转化为求的正切值，最后根据三角函数定义即可得到答案.
【小问1详解】
连接，在平行四边形中，
为与的交点，
为的中点，又为的中点，，
又平面平面，
平面.
【小问2详解】
平面平面，，
在中，，，又，，
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面.
小问3详解】
取的中点，连接，，
为的中点，，且
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，
在Rt中，，
，从而，
在Rt中，，
直线与平面所成角的正切值为.
18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，．
①求的面积；
②若，求．
【答案】（1）
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）对原式展开后利用余弦定理和正弦定理得，再利用两角差的正弦公式即可得到答案；
（2）①利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理求出，最后利用三角形面积即可得到答案；②根据向量线性运算得，最后利用转化法即可求出模长.
【小问1详解】
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，又，
所以，所以，则.
【小问2详解】
①因为，由正弦定理可得.又，
由，
所以，
解得或(舍去)，所以，
所以.
②因为，
所以.
所以.
所以
.
19. 对于平面向量，定义“变换”：，
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；
（2）计算得，从而，再展开计算即可证明；
（3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可.
【小问1详解】
因为向量
所以
所以.
【小问2详解】
因为.
所以
.
.
，所以.
【小问3详解】
方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以.
所以
方法二:设，
，
因为，
，
所以
，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明出，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可.