四川省南充市2023-2024学年高一下学期7月期末学业质量监测数学试卷(含答案)

这是一份四川省南充市2023-2024学年高一下学期7月期末学业质量监测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知，则( )
A.B.C.D.1
2．若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37.则该组数据的第35百分位数为( )
A.17B.20C.23D.25
3．若，则的值是( )
A.B.C.D.
4．对于两条不同直线m，n和两个不同平面，，以下结论中正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
5．的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则a的值为( )
A.B.C.D.2
6．已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
7．在中，，P是线段上的一点，若，则实数t的值为( )
A.B.C.D.
8．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为( )
A.1B.C.D.
二、多项选择题
9．函数，则下列说法中正确的有( )
A.
B.的一条对称轴方程为
C.的一个对称中心为
D.的单调递增区间为，
10．正方体中，，M是的中点，则下列说法中正确的有( )
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.平面
C.过A，B，M三点作正方体的截面，则截面面积为
D.若P为正方体对角线上的一个动点，则最小值为
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有( )
A.若，，则周长的最大值为18
B.若，，则面积的最大值为
C.若角A的内角平分线交于点D，且，，则面积的最大值为3
D.若，，M为的中点，且，则
三、填空题
12．如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是_________.
13．如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点E，则_________.
四、双空题
14．已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是_________；二面角的余弦值是_________.
五、解答题
15．已知，.
（1）若，求m的值；
（2）若，求与夹角的余弦值.
16．某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；
（3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数.
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O是与的交点，平面，，M是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，.
①求的面积；
②若，求.
19．对于平面向量，定义“变换”：，
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：.
故选：C.
2．答案：B
解析：这组数据有10个数，所以，
则该组数据的分位数为第4个数据20，
故选：B.
3．答案：B
解析：若，
两边同时平方可得，
即，
由正弦二倍角公式及同角三角函数关系式可知，
故选：B.
4．答案：A
解析：对于A，若，，则，故A正确；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则或或m，相交，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：A.
5．答案：C
解析：，
，
，，
则由正弦定理可得，.
故选：C.
6．答案：D
解析：因为向量与的夹角是，且，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
7．答案：A
解析：由，
由已知，则，
根据平面向量三点共线定理得，解得.
故选：A
8．答案：C
解析：因为，，所以，
，
设外接圆的半径为r，圆心为，则，即，
设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，则，解得（负值已舍去）；
因为平面，所以，
即，即，解得（负值已舍去）；
所以.
故选：C
9．答案：ABD
解析：对于选项A：，故A正确；
对于选项B：因为为最小值，
所以的一条对称轴方程为，故B正确；
对于选项C：因为为最大值，
所以不是的对称中心，故C错误；
对于选项D：令,，解得,，
所以的单调递增区间为，，故D正确；
故选：ABD.
10．答案：ACD
解析：如下图所示：
对于A选项，因为，则异面直线与所成角为或其补角，
因为，且，，
则，
所以，，
故异面直线与所成角的余弦值为，A正确；
对于B选项，连接交于点O，连接，
因为四边形为正方形，，则O为的中点，
又因为M为的中点，所以，，
又因为平面，平面，所以，平面，
若平面，则，根据正方体性质知四边形为矩形，
且，则其对角线与不垂直，则B不正确；
对于C选项，设平面交棱于点N，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因为，则，因为，故四边形为平行四边形，
所以，，故N为的中点，所以，，
又因为，则，所以，四边形为平行四边形，
因为平面，平面，所以，，
所以，四边形为矩形，且其面积为，C正确.
对于D选项，将、延展至同一个平面，如下图所示：
且，，
结合图形可知，当D、P、M三点共线时，取最小值，
即，
易知，，，
，则在中，，
则，则
，
则由余弦定理有
故最小值是，D正确；
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：对于A，由余弦定理可得，
即，即，
即，则，解得，
当且仅当时，等号成立，
则周长的最大值为18，所以A正确；
对于B，由余弦定理可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为，故B错误；
对于C，设，，则，，
在和中，分别运用正弦定理，得和.
因为，所以，即，所以，
由余弦定理可得，
所以，
，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为3，所以C正确；
对于D，设，
在中利用余弦定理得，①
在中利用余弦定理得
，②
则①②有，解得，则，则D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：把直观图还原为原图形，如图所示，
则,，
所以.
故答案为：.
13．答案：3
解析：因为，则F为中点，
则，则，
则，
则.
故答案为：3.
14．答案：/0.75；
解析：如下图，过点B作，连接，，，
结合题意可知O为的中点，且，
所以即为二面角的平面角，由题意可知，.
因为，，所以，，，
所以，且，进而得到，
因为，则异面直线与所成角即为或其补角，
在中，由余弦定理可得，
则异面直线与所成角的余弦值是；
取的中点F，连接，，因为，，
所以，，则即为所求二面角的平面角，
在中，因为，，
所以，同理，
在中，由余弦定理可得，
故答案为：；.
15．答案：（1）或.
（2）
解析：（1）因为，所以，
解得：或.
（2）因为，，，
所以，解得：，
所以，，
，
所以与夹角的余弦值为.
16．答案：（1），；
（2）72.9；
（3）14
解析：（1）由题意知，
解得.
估计这200名员工所得分数的平均数
，
.
（2）的频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为m，
所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.
（3）的人数：，
的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）连接，在平行四边形中，
O为与的交点，
O为的中点，又M为的中点，，
又平面，平面，
平面.
（2）平面，平面，，
在中，，，又，，
因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面.
（3）取的中点N，连接，，
M为的中点，，且
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，，，，
在中，，，
，从而，
在中，，
直线与平面所成角的正切值为.
18．答案：（1）；
（2）①；②.
解析：（1）因为，
所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，又，
所以，所以，则.
（2）①因为，由正弦定理可得.又，
由，
所以，
解得或(舍去)，所以，
所以.
②因为，
所以.
所以.
所以
.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）因为向量，
所以
所以.
（2）因为，.
所以
.
.
，所以.
（3）方法一：，
，
由（2）可得，，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以.
所以
方法二:设，，
，
因为，
，
所以
，
所以.