2024—2025学年广西河池高一数学下册（7月）期末考试【含答案】

这是一份2024—2025学年广西河池高一数学下册（7月）期末考试【含答案】，共11页。试卷主要包含了考试结来后，请将答题卡上交，本卷主要考查内容，欧拉恒等式，如图，在正四面体ABCD中，已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结来后，请将答题卡上交。
5．本卷主要考查内容：必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，30是（ ）
A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量
2．矩形的直观图是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形
3．下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
4．已知圆锥的侧面展开图是半径为6．圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A．6.5B．7C．7.5D．8
6．欧拉恒等式（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在中，，P为CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是实数，则与的虚部互为相反数
B．若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称
C．若，则
D．若，则
10．已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若．则
C．若，则 D．若．则
11．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A． B．A与B相互独立
C．A与C相互独立 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量与的夹角为，．则___________．
13．已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72．射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响．若甲、乙各射击一次·则至少有一人击中配心的概率为___________．
14．某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，请判断是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
16．（本小题满分15分）
团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作．某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数（每人投10个球）统计表如下：
（1）求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差；
（2）从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率．
17．（本小题满分15分）
如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面ACF．
18．（本小题满分17分）
如图，在梯形ABCD中，，E，F分别为AB，CE的中点，G是线段BC上的动点．
（1）若，求证：A，F，G三点共线；
（2）若，求的最小值．
19．（本小题满分17分）
如图1，在四边形ABCD中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面BCD，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．
图1 图2
（1）求证：平面平面PCD；
（2）求直线BE与平面PBC所成角的正弦值．
参考答案、提示及评分细则
1．D 总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；个体：把组成总体的每个对象称为个体；样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位；在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查，在这个问题中，50种饮料是总体，每一种饮料是个体，30种饮料是样本，30是样本量．故选D．
2．D 直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故矩形的直观图是平行四边形．故选D．
3．C 频率与概率不是同一个概念，故A错误；在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误；随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故C正确；在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误．故选C．
4．B 设该圆锥的底面圆半径为r，所以，解得，所以该圆锥的高为，所以该圆锥的体积．故选B．
5．C 将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列为：4，5，5，6，6，7，8，8，9，9．又因为，所以这组数据第60百分位数为：．故选C．
6．B 由题意得，又，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选B．
7．C 由题意知．故选C．
8．A 过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF．不妨设，易得，．在中，由余弦定理得，所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．故选A．
9．AB 设，所以，所以，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
取，此时，满足，但与不能比较大小，故C错误；
若，满足，但是，故D错误．故选AB．
10．BC 若，则或，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则，故C正确；
若，可能，故D错误．故选BC．
11．BCD 设2个白球为，2个黑球为，
则样本空间为：，共12个基本事件．
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A错误；
对于B，因为，
则，故事件A与B相互独立，故B正确；
对于C，由，故事件A与C相互独立，故C正确；
对于D，因为，所以事件A与D互为对立，，故D正确．故选BCD．
12．因为，所以．
13．0.958 设甲击中靶心为事件A，乙击中靶心为事件B，则，
所以两人都没有击中靶心的概率为，
所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为．
14． 由题意可得，，所以，故该模型的表面积为．
15．解：（1）由正弦定理得，则， 2分
由余弦定理得， 4分
又，所以； 6分
（2）由余弦定理得， 8分
化简后有解出， 10分
显然，因此是直角三角形（也可用正弦定理求出的值，进而判断）． 13分
16．解：（1）依题意，这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数为
3分
方差为； 7分
（2）依题意，这10名员工投中10个球的有1人，编号为6，投中9个球的有3人，编号为2，4，10，从中任选2人，有，共6种， 10分
这2人恰好都是投进9个球的有，共3种， 13分
所以这2人恰好都是投进9个球的概率． 15分
17．证明：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以． 1分
在正方体中，平面ABCD，又平面ABCD，以， 3分
又平面，所以平面， 5分
又平面，所以； 6分
（2）连接BD，交AC于点O，连接FO，如图所示．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
又F是棱的中点，以， 8分
又平面ACF，吨平面ACF，所以平面ACF， 10分
在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，所以， 12分
又平面ACF，平面ACF，所以平面ACF， 13分
又平面，所以平面平面ACF． 15分
18．（1）证明：由题意知， 2分
6分
所以，所以A，F，G三点共线； 7分
（2）解：在梯形ABCD中，，
易得．设， 9分
解法一：所以， 12分
所以， 16分
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 17分
解法二：， 12分
所以
， 16分
当且仅当时，等号成立，所以最小值为． 17分
解法三：以E为坐标原点建立如图所示坐标系，
则，
设，则， 10分
由于，因此，解出， 12分
因此， 14分
故， 16分
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 17分
19．（1）证明：因为平面平面BCD，平面平面，
且平面BCD，，所以平面PBD， 2分
又平面PBD，所以， 3分
又，且平面PCD，所以平面PCD， 5分
又平面BEC，所以平面平面PCD； 6分
（2）解：在中，． 7分
在中，易得，所以． 9分
因为平面PBD，所以CD是三棱锥的高，
解法一：所以． 11分
设点D到平面PBC的距离为h，因为，所以，解得， 13分
易得，所以点E到平面PBC的距离为， 15分
所以直线BE与平面PBC所成角的正弦值为． 17分
解法二：在中，BE是边PD的高，可求出， 11分
所以，
设点E到平面PBC的距离为d，则， 13分
由等体积可知，令，解出， 15分
所以直线BE与平面PBC所成角的正弦值为． 17分编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投中个数
7
9
8
9
8
10
7
7
6
9