广西河池市2024_2025学年高一数学下学期7月期末考试含解析

这是一份广西河池市2024_2025学年高一数学下学期7月期末考试含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 与是共轭复数，已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为，故.
故选：A.
2. 某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为，
所以，解得.
故选：B.
3. 下列向量的概念错误的是（ ）
A. 长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B. 零向量和任何向量都是共线向量
C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D. ，，则
【答案】D
解析：对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确，
对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确，
对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确，
对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误，
故选：D
4. 如图，正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：连结，则，
所以为异面直线与所成的角.
在正方体中，因为为正三角形，所以.
故选：C.
5. 如图所示，已知在正方形中，、分别是边、的中点，与交于点.设，，下列选项错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：对于A选项，由平面向量加法的平行四边形法则可得，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，由题意可得，，
所以，故，D对.
故选：A.
6. 已知样本空间，事件，事件，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. 事件与事件独立D. 事件与事件互斥
【答案】D
解析：对于A, ,故A正确，
对于B, ,故B正确，
对于C,由于，则，故事件与事件独立，C正确，
对于D,事件与事件有公共的样本点，故不互斥，D错误，
故选：D
7. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：将平面、平面延展为同一个平面，如下图所示：
由图可知，当、、三点共线时，取最小值，
且，，且，
延展后，、、共线，且，，，
由勾股定理可得.
故最小值为.
故选：D.
8. 某市圆形花圃，现要均分成块，种植种不同花卉，工匠计划将花圃按左图方式分割.先将花圃均分成块，在按照右图将每个角花圃近似的均分成三块（三部分面积近似均等），从弧的中点出发，左右对称分割，已知右图中，，，则的长度最接近（ ）（，）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因，设，，
，
，
即，所以.
故选：B.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设、为不重合的两平面，、为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ）
A ，，则
B. ，，，，，则
C ，，则
D. ，，则
【答案】BD
解析：对于A选项，若，，则或，A错；
对于B选项，若，，，，，则，B对；
对于C选项，若，，则或，C错；
对于D选项，若，，由线面垂直的性质可得，D对.
故选：BD.
10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 对应的点在复平面的第三象限
C. ，则为实数D. ，则为纯虚数
【答案】ACD
解析：对于A,,故A正确，
对于B，，则对应的点为，位于第二象限，故B错误，
对于C, 为实数，故C正确，
对于D, 为纯虚数，故D正确，
故选：ACD
11. 在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（ ）
A. 越大越费力，越小越省力B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】AD
解析：对于A，由为定值，
所以，
解得；
由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增，
即越大越费力，越小越省力，故A正确；
对于B，当时，，故B错误
对于C，当时，，所以，故C错误；
对于D，当时，，所以，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则_____.
【答案】
解析：因为向量，，且，则，解得.
故答案为：.
13. 是关于的方程的一个根，则实数__________.
【答案】10
解析：若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数，
即为该方程的两根，由韦达定理，.
故答案为：10.
14. 正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____.
【答案】
解析：由正四面体的特征可知其外接球的球心在高所在的直线上，设球心为，
则,,
,
设外接球的半径为,则,
代入的值可得,
要使过点作正四面体外接球的截面中面积最小，则到球心的距离最大，即与截面垂直时，此时截面最小，
则到球心的距离,
故截面圆的半径为,
因此截面圆的面积为，
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角、、的对边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为，
由正弦定理可得，故，
由余弦定理得，
因为，故.
（2）
由三角形的面积公式得，可得，
由余弦定理得，
解得，故的周长为.
16. 2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩（个数）如下：
（1）求甲运动员的样本数据第75百分位数；
（2）分别计算这两位运动员10轮投篮成绩的平均数和方差；
（3）根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？
【答案】（1）9 （2）甲的平均数为7，方差为4.6，乙的平均数为7，方差为1.2
（3）乙发挥的更加稳定，理由见解析
（1）
甲运动员的成绩从小到大排列为，
，故甲运动员的样本数据第75百分位数为9，
（2）
甲的平均数为，
方差为
乙的平均数为
方差为
（3）
由（2）知：，
故乙发挥的更加稳定.
17. 一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的4个小球，其中3个红球，1个白球，设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示：
（1）写出游戏1与游戏2的样本空间，并分别求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率；
（2）甲与乙两人玩游戏1，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率.
【答案】（1），，
（2）
（1）
记三个红球为号，记白球为号，用表示两次摸球的情况，
记游戏1与游戏2的样本空间分别为，
记“在游戏1中甲获胜”，记“在游戏2中甲获胜”
，，
（2）
记“甲获得第局游戏胜利”，，记“甲获得比赛胜利”
由（1），
18. 如图，已知三棱锥中，平面平面，平面，为的中点，为等边三角形，为中点，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角大小；
（3）求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
（1）
因为为等边三角形，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，故平面.
（2）
取线段的中点，连接，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，
因为平面，所以平面，
故直线与平面所成角为，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为为的中点，故为的中点，
又因为为等边三角形，故，
因此，直线与平面所成角为.
（3）
连接，分别取、的中点、，连接、、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，
，
同理可得，，
因为平面，所以平面，
因为、平面，所以，，
又∵平面,平面，∴，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
故二面角的平面角为，且，
因此，二面角的正切值为.
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，，若点为该的外心，求的最大值.
【答案】（1）
（2），
（3）
（1）
根据题意知，向量的相伴函数为，
当时，，
又，则，所以，故.
（2）
因为，
整理得到，故函数的相伴特征向量，
则与同向的单位向量为.
（3）
由题意得，，
在中，，，又，因此，
设外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以 ，
，
，
代入可得，
所以当时，取得最大值．
甲
4
7
6
5
4
9
10
7
8
10
乙
7
5
8
6
7
9
7
6
7
8
游戏1
游戏2
摸球方式
不放回依次摸2球
有放回依次摸2球
获胜规则
若摸出2个红球，则甲获胜，否则乙获胜