河南省豫北六校2025届高三下学期5月份联合模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省豫北六校2025届高三下学期5月份联合模拟考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知z=10i43-i9，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由z=10i43-i9=103-i=103+i3-i3+i=103+i10=3+i，可得z=3-i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为3,-1，位于第四象限．
故选：D．
2．若a>0，b>0，且a+b=1，则-1a-4b的最大值为（ ）
A．-9B．-7C．-5D．-3
【答案】A
【解析】因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以1a+4b=1a+4ba+b=5+ba+4ab ≥5+2ba⋅4ab=9，
当且仅当ba=4ab，a>0，b>0，即a=13，b=23时等号成立，
所以-1a-4b的最大值为-9．
故选：A.
3．已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1≠a2，且4a3，3a4，2a5成等差数列，则S8S2=（ ）
A．2533B．2543C．85D．86
【答案】C
【解析】设等比数列an的公比为q，因为a1≠a2，故q≠1，
又4a3，3a4，2a5成等差数列，故6a4=4a3+2a5即q2-3q+2=0，
解得q=2或q=1（舍去），所以S8=a11-q81-q，S2=a11-q21-q，
因此S8S2=1-q81-q2=1-281-22=85．
故选：C
4．函数fx=2-x-2xxx的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】fx的定义域为-∞,0∪0,+∞，排除D；
因为f-x=2x-2-x-x-x =2-x-2x⋅xx=fx，所以fx为偶函数，
图象关于y轴对称，排除C；
当x>0时，fx=2-x-2xxx=2-x-2x0的焦点为F，准线为l，C上的点M在l上的投影为A，直线MF与C的另一个交点为N，当cs∠AMF=-35时，若线段MN的中点到l的距离为252，则p=（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】

由题意得Fp2,0，l:x=-p2，
设直线MF的倾斜角为θ，则θ=∠AMF．因为cs∠AMF=-35，所以tanθ=-43，
则直线MF为y=-43x+2p3，同y2=2px联立，整理得8x2-17px+2p2=0，
当p>0时，Δ>0，则x1+x2=17p8，故x1+x22=17p16，
得线段MN的中点到l的距离为x1+x22+p2=17p16+p2=25p16=252，解得p=8．
故选：D.
7．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡bmdm．若a为4+x2024的二项展开式中含x项的系数，且a≡bmd5，则b的值可以是（ ）
A．203B．204C．205D．206
【答案】D
【解析】4+x2024的二项展开式中含x项的系数为C20241×42023=2024×5-12023，
由二项定理可得：
2024×5-12023=2024×2022∑i=0C2023i52023-i-1i-2024=2024×2022∑i=0C2023i52023-i-1i-2025+1，
而2024×2022∑i=0C2023i52023-i-1i-2025能被5整除，
故2024×5-12023除以5的余数为1，而b,a除以5的余数相同，
故b除以5的余数为1，
而203=5×40+3，205=5×41，204=5×40+4，206=5×41+1，故D正确．
故选：D.
8．定义2×2行列式a1a2a3a4=a1a4-a2a3，已知函数fx=2sinx-csx2csx2sinx+sinx-2a2csx a∈R,a>-32，若在区间0,π4上，始终存在两个不相等的实数x1，x2，满足fx1fx2=94，则a的取值范围是（ ）
A．-32,14B．-54,14C．-54,-14D．-1,-14
【答案】C
【解析】由题中所给定义可知，fx=4sin2x+2cs2x+2sinxcsx+2a=2sin2x+2+sin2x+2a
=3+2a+sin2x-cs2x=3+2a+2sin2x-π4，
当x∈0,π4时，2x-π4∈-π4,π4，
所以2sin2x-π4∈-1,1，所以fx∈2a+2,2a+4，
当a≥-1时，2a+2≥0，fx1fx2∈2a+22,2a+42，
所以2a+226，PM=10，所以点A在圆M外，线段PA的垂直平分线与直线PM的交点Q在线段MP的延长线或反向延长线上.
当点Q在线段MP的延长线上时，如下图所示.
此时，QM-QA=QM-QP=MP=10；
当点Q在线段PM的延长线上时，如下图所示.
此时，QA-QM=QP-QM=MP=10，
综上，QM-QA=10，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10.
又AM=12>10，所以点Q的轨迹是以点M和A为焦点的双曲线，其中2a=10，2c=12，
所以a2=25，c2=36，b2=11，所以双曲线方程为x225-y211=1.
当点P为2,6时，线段PA的垂直平分线l的方程为y=23x+13，直线PM的方程为y=34x+92，直线l与直线PM的交点为-50,-33，
故动点Q的轨迹方程为x225-y211=1（x≠-50且y≠-33）.
故答案为：x+62+y2=100（x≠2且y≠6）；x225-y211=1（x≠-50且y≠-33）.
四、解答题
15．已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3+a7=6，S12=45．
（1）求an；
（2）若数列bn满足bn=an+an+2,n为奇数2an+an+2,n为偶数，求数列bn的前20项和T20．
解：（1）设等差数列an的公差为d，
由a3+a7=6，S12=45，得2a1+8d=612a1+66d=45，解得a1=1d=12，
所以an=1+n-1×12=n+12．
（2）因为an+an+2=n+12+n+32=n+2，所以bn=n+2,n为奇数2n+2,n为偶数，
故T20=b1+b2+b3+⋯+b20=b1+b3+⋯+b19+b2+b4+⋯+b20
=3+5+⋯+21+22+23+⋯+211=3+21×102+41-2101-2=4212.
16．如图，在五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1中，A1A⊥平面ABCDE，AB⊥AE，DC⊥DE，AB=AE=2，A1B1=1，∠AED=3π4，DC=DE=22，AA1=3．
（1）证明：BC1//平面AEE1A1．
（2）求直线BD1与平面CDE1所成角的正弦值．
（1）证明：如图所示，分别延长AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，
∵ ABCDE-A1B1C1D1E1为棱台，
∴ AA1，BB1，CC1，DD1，EE1交于一点P，且P-ABCDE为五棱锥.
∵ AB=2，A1B1=1，AA1=3，∴ PA=6，
且A1，B1，C1，D1，E1分别为PA，PB，PC，PD，PE的中点．
连接CE，取CE的中点M，连接BM，MD．
∵ DC=DE=22，DC⊥DE，∴ CE=DC2+DE2=4，
且∠DEC=π4，又∠AED=3π4，∴ AE⊥EC，
又∵ AB⊥AE，∴ AB//EM，
连接C1E1，AE1，∵ C1E1//CE，C1E1=12CE=2，
∴ C1E1//AB，C1E1=AB，
∴四边形ABC1E1为平行四边形，∴ AE1//BC1，
又∵ AE1⊂平面AEE1A1，BC1⊄平面AEE1A1，
∴ BC1//平面AEE1A1．
（2）解：∵ AB，AE，AP两两相互垂直，
∴以A为坐标原点，AB，AE，AP所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）知AE=AB=EM=2，AB//EM，AB⊥AE，
∴四边形ABME为正方形，∴ BM=2，BM⊥CE，
∴ DM⊥CE，∴B，M，D三点共线，且BD=4，
∴ B2,0,0，C4,2,0，D2,4,0，D11,2,3，E10,1,3，
则BD1=-1,2,3，CD=-2,2,0，CE1=-4,-1,3，
设m=x,y,z为平面CDE1的一个法向量，
则CD·m=0CE1·m=0，即-2x+2y=0-4x-y+3z=0，
令y=3，得x=3，z=5，∴ m=3,3,5.
设直线BD1与平面CDE1所成角为θ，
则sinθ=csBD1,m=BD1·mBD1m=-1×3+2×3+3×51+4+9×9+9+25=9602301，
所以直线BD1与平面CDE1所成角的正弦值为9602301.
17．在某闯关游戏中，有A，B两类难度不同的关卡，已知小明通过A类关卡的概率均为23，通过B类关卡的概率均为34，各关卡相互独立．游戏共有两个环节，第一个环节由4个关卡组成，其中A，B难度的关卡各两个，且每个关卡的难度未知，至少闯过一关即可通过此环节，然后进入第二个环节，第二个环节可从以下三个方案中任选一个进行．
方案一：依次闯7个A类关卡，每通过一个关卡得15分，否则得0分；
方案二：依次闯7个B类关卡，每通过一个关卡得12分，否则得0分；
方案三：从4个A类关卡，5个B类关卡中随机抽取7个关卡，其中通过一个A类关卡得15分，通过一个B类关卡得12分，根据最后的得分获得相应的奖品．
（1）求小明通过第一个环节的概率．
（2）小明已通过第一个环节，进入第二个环节，从期望的角度分析，小明选择何种方案参加第二个环节更加合理?并说明理由．
解：（1）若小明通过第一个环节，则至少闯过一个关卡，
概率P=1-1-341-341-231-23=143144．
（2）小明选择方案一参加比赛更加合理．
理由如下：若小明采用方案一闯关，闯过的关卡数X∼B7,23，
所以得分的期望值为E15X=15×7×23=70；
若小明采用方案二闯关，闯过的关卡数Y∼B7,34，
所以得分的期望值为E12Y=12×7×34=63；
若小明采用方案三闯关，当随机抽取到2个A类关卡，5个B类关卡闯关时，
得分的平均值为2×23×15+5×34×12=65，概率为P1=C42C55C97=16；
当随机抽取到3个A类关卡，4个B类关卡闯关时，
得分的平均值为3×23×15+4×34×12=66，概率为P2=C43C54C97=59；
当随机抽取到4个A类关卡，3个B类关卡闯关时，
得分的平均值为4×23×15+3×34×12=67，概率为P3=C44C53C97=518，
所以得分的期望值为EZ=65×16+66×59+67×518=5959=6619．
因为E15X>EZ>E12Y，故小明选择方案一参加第二个环节更合理．
18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，右焦点与圆E：x2-2x+y2-15=0的圆心重合，短轴长与圆E的半径相等．
（1）求C的方程．
（2）已知O为原点，C上的点P满足F1P⋅F2P=329，求直线OP被C截得的弦长．
（3）已知C的上顶点为A，斜率为2的直线与C交于B，D两点，AB的中点为M，AD的中点为N，F2到直线MN的距离为d1，C的右顶点到直线MN的距离为d2，试判断d2-d1是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）由圆E:x2-2x+y2-15=0的标准方程为x-12+y2=16；得圆心坐标E1,0，半径为4，所以F21,0，2b=4，故c=1，b=2，所以a2=5，所以C:x25+y24=1．
（2）设Px0,y0，则x025+y024=1，得x02=51-y024，因为F1-1,0，F21,0，
所以F1P⋅F2P=x02-1+y02=51-y024-1+y02=4-y024=329，解得y02=169，所以x02=259，
因为C与直线OP均关于原点对称，所以直线OP被C截得的弦长为2OP=2x02+y02=2413．
（3）设直线BD方程为y=2x+n，联立椭圆方程得y=2x+nx25+y24=1，
消去y得24x2+20nx+5n2-20=0，直线与椭圆有交点，可知Δ≥0，
(20n)2-4×24·(5n2-20)≥0，解得-26≤n≤26.
设B(x1,y1),D(x2,y2)，可知y1-y2x1-x2=2，即y1-y2=2(x1-x2)
因为A(0,2)，所以M(x12,y1+22),N(x22,y2+22)
可得直线MN解析式为y-y1+22y2+22--y1+22=x-x12x22-x12，化简得4x-2y+n+2=0，
∵F2(1,0),E(5,0),∴d1=6+n25,d2=45+2+n25，
可得d2-d1=45+2+n25-6+n25，∵-26≤n≤26，
∴45+2+n>0,6+n>0，d2-d1=45-425=10-255.
19．若定义域为D的函数y=fx满足：非空集合I⊆D，∀x∈I，若fx≥0，则称fx是一个I上的“非负函数”；若fx≤0，则称fx是一个I上的“非正函数”．
（1）分别判断f1x=lnx+5x+10，f2x=e2x-4x是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由．
（2）已知函数hx=13x3+4sinx-4x+a为-1,1上的“非负函数”，求a的取值范围．
（3）设n∈N*，且n≥2，证明：cs1+cs23+cs12+cs25+⋯+cs2n