四川省成都市2024_2025学年高三数学上学期9月月考试题含解析

这是一份四川省成都市2024_2025学年高三数学上学期9月月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了 集合，集合，则， 展开式中第6项的二项式系数是，38B等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式求出集合，，再根据交集的定义求解即可．
【详解】由，
，
则，
即，
故选：C.
2. 函数是定义在上奇函数，当时，，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】解：因为是定义在上奇函数，当时，，
所以.
故选：D.
3. 展开式中第6项的二项式系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据第6项的二项式系数即可求解.
【详解】展开式中第6项的二项式系数是，
故选：C.
4. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可.
【详解】由题意可知，解不等式得.
故选：D
5. 体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（ ）
A. 0.38B. 0.24C. 0.14D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】甲、乙两人恰好有一人投中的概率为，
故选：A
6. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
因为二次函数的对称轴为，
所以有，即，
故选：A
7. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A. 4B.
C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解.
【详解】因为当时，所以函数
的图像恒过定点，即，因为点在直线上，
所以即 因为 所以
当且仅当
即时取等号.
故选：D.
8. 已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；②函数图象的一条对称轴为；
③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由，的周期为6，及函数的单调性分析判断.
【详解】①：对于任意，都有成立，
令，则，解得，
又因为是R上的偶函数，所以，
所以，所以函数的周期为6，
所以，
又由，故；故①正确；
②：由（1）知的周期为6，
又因为是R上的偶函数，所以，
而的周期为6，所以，，
所以：，
所以直线是函数的图象的一条对称轴．故②正确；
③：当，且时，都有．
所以函数在上为严格增函数，
因为是R上的偶函数，所以函数在上为严格减函数，
而的周期为6，所以函数在上为严格减函数．故③正确；
④：，的周期为6，所以，
又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点，
所以在和上各有一个零点，
所以函数在上有四个零点．故④正确；
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对所给的函数注意判断即可.
【详解】对A：是偶函数，在上递减，排除A；
对B：为偶函数，在上递增，故B正确；
对C：为偶函数，在上递增，故C正确；
对D：为奇函数，排除D.
故选：BC
10. 已知函数，则（ ）
A. 在单调递增
B. 有两个零点
C. 的最小值为
D. 在点处切线为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可判断ABC，再根据导数的几何意义求切线方程，判断D.
【详解】，，
对于A，当时，，所以在单调递增，故A正确；
，得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以当时，取得最小值，C正确，
当时，，当时，，
所以函数只有1个零点，故B错误，
对于D，，，所以曲线在点处的切线方程为，故D正确；
故选：ACD.
11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A. 开口向上的抛物线的方程为
B.
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于4
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.
【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得,故，即B正确；
对于C，
如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点,
由解得，由解得，,
即得,
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，，（）
由此函数图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为，
于是,由图知，半个花瓣的面积必大于，
故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题.
解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. __________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据对数和指数运算法则计算可得结果.
【详解】易知
.
故答案为：12
13. 已知二次函数满足，则与的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】由得到函数的对称轴，从而得到方程，求出，再根据对称性和单调性比较出大小.
【详解】以为，所以为二次函数图象的对称轴，
所以，解得．
根据对称性知，，又函数在上单调递增，所以，
即．
故答案为：
14. 在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论：
①线段长度的最大值为；
②存在点，使得；
③存在点，使得；
④是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断B，设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断③④
【详解】如图，建立空间直角坐标系，

则，
对①，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为，
此时，，
所以，即满足，故①正确；
对②，取正方形的中心M，连接，易知，
所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，，
此时，，，即不满足，
综上不存在点，使得，故②错误；
对③，设，则，，若存在，
由，可得方程组，
化简可得，解得 ，
显然当时满足题意，
即存在点，使得，故③正确；
对④，设，若，
则，化简可得，
由③知时可得，所以不妨取，
此时在正方体表面上，满足题意，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题.
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式；
（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.
【小问1详解】
因为为等差数列，设公差为d，
由，得，即，
由，，成等比数列得，，
化简得，因为，所以．
所以．
综上．
【小问2详解】
由知，，
又为公比是3的等比数列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
综上.
16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点
（1）证明：平面;
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量,再通过空间角的向量求解即可.
【小问1详解】
分别为的中点
为正方形
平面平面
平面.
【小问2详解】
由题知平面
建立如图所示的空间直角坚标系，
，则,
,,,
设平面的一个法向量为
则,令则,
设直线与平面所或的角为,
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：
已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步概率为0.6．
（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据卡方计算公式求解卡方，即可与临界值比较求解，
（2）根据分层抽样比求解抽取人数，即可利用超几何分布概率公式求解概率，进而得分布列求解.
【小问1详解】
由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，
故喜欢跑步的人有（人），不喜欢跑步的人有（人）．
∴，，，，
，
故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关．
【小问2详解】
按分层抽样，设女生名，男生名，，解得，，
∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，故，1，2．
，，，
故X的分布为：
∴．
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性.
（2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证.
【小问1详解】
由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，
则时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
19. 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；
（3）求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以．若方程的正整数解为，且初始解，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）为定值1，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据实轴长和顶点到渐近线的距离求解即可；
（2）将转化为线段的中点重合，结合韦达定理求解即可；
（3）知识迁移，类比二元二次方程的正整数解，求方程的正整数解，然后将的面积表示出来即可.
【小问1详解】
由题意，解得，
所以双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
由题意直线的斜率不为0，设直线，因为直线与的右支交于两点，所以，
联立得，
所以，且，即，
联立得，所以，
所以，即线段的中点重合，所以．
【小问3详解】
由题意得方程的初始解为，则根据循环构造原理得
，
从而，
记，则，设的夹角为，
则的面积
，
令，
则
，于是的面积为定值1．
【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，将学习过的知识方法迁移到新的问题中.
喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
男生
80
女生
20
合计
喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
男生
80
60
140
女生
40
20
60
合计
120
80
200
0
1
2