北京市朝阳区2025届高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份北京市朝阳区2025届高三数学上学期10月月考试题含解析，共18页。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义计算可得；
【详解】解：因为
所以
故选：B
2. 若复数满足，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由知，运用复数的除法即可求出，根据共轭复数的概念即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.
【详解】函数是奇函数，不符合；
函数是偶函数，但是在(0,+∞)上单调递减，不符合；
函数不是偶函数，不符合；
函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增，符合.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
4. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
故选：C.
5. 已知，，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式可知当时，；反之不成立，即可得出结论.
【详解】若“”，可知当时，不成立，即可知充分性不成立；
若，可得，即可得，即必要性成立，
因此可得“”是“”的必要不充分条件；
故选：B
6. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定条件得到，判断A，利用给定条件得到判断B，举反例判断C，D即可.
【详解】对于A，若，则，故A错误，
对于B，若，则，故B正确，
对于C，若，则可能相交，平行或异面，故C错误，
对于D，若，则可能相交，平行或异面，故D错误.
故选：B
7. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在上为增函数
D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】结合正弦型函数的图象与性质验证依次判断各选项即可.
【详解】对于A，，的图象关于直线不对称，A错误；
对于B，由，得的图象关于点不对称，B错误；
对于C，由，得，
由正弦函数性质知在区间上单调递增，C正确；
对于D，图象向右平移个单位得到，故不是偶函数，D错误.
故选： C
8. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】
.
故选：D
9. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A. 2小时B. 0.8小时C. 0.5小时D. 0.2小时
【答案】C
【解析】
分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果.
【详解】根据题意得，整理得到，两边取以为底的对数，
得到，即，又，
所以，得到，
故选：C.
10. 已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. 为递增数列B. 当且仅当时，有最大值
C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为无限集
【答案】C
【解析】
【分析】利用可求得，结合等差数列通项公式可得；由此可求得；根据的二次函数性和的一次函数性依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，，即；
设等差数列的公差为，则，解得：，
对于A，，为递减数列，A错误；
对于B，，
，当或时，取得最大值，B错误；
对于C，由得：，，，C正确；
对于D，，由得：，
则不等式的解集为，为有限集，D错误.
故选：C.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若角的终边经过点，则的值为 ．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：∵角α的终边经过点P（1，-2），∴tanα=-2⇒tan2α==．
考点：二倍角公式．
12. 已知数列满足，则前6项和为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用等比数列的定义，结合等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以的前6项和为.
故答案为：.
13. 若函数， 对任意的都满足，则常数的一个取值为_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由，代入利用两角和与差的余弦公式化简即可.
【详解】由，即，
即，
即，又，
所以，
所以，
即常数的一个取值为，
故答案为：.
14. 已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，由数量积的坐标运算可得，再由二次函数的最值知识即可求得.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，
则，
因为，
所以，
所以当时，取得最大值.
故答案为：.
15. 设函数给出下列四个结论：①函数的值域是；②，方程恰有3个实数根；③，使得；④若实数，且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.
【详解】因为函数，其图象如下图所示：
对于①，由图可知，函数的值域不是，故①不正确；
对于②，由图可知，，方程恰有3个实数根，故②正确；
对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数满足，当满足时，
由图可知，即，
，即，
所以，由图可知，，
而在上单调递减，所以，
所以，
则的最大值为，故④正确.
故答案为：②③④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步㵵或证明过程．
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）最小正周期为
（2）最大值为，最小值为
【解析】
分析】（1）根据辅助角公式可得，结合公式计算即可求解；
（2）根据题意可得，结合正弦函数的单调性，进而得出函数的最值.
【小问1详解】
由题意知，
，
则，
所以函数的最小正周期为；
【小问2详解】
因为，所以，
而函数在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，函数取得最大值为；
当，即时，，
当，即时，，
所以当时函数取得最小值为.
17. 在中，.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求△的面积.
条件①：；条件②：；条件③：△的周长为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换得到，即可得到；
（2）条件①：利用正弦定理得到，根据大边对大角，小边对小角得到，此时不唯一，故条件①不成立；
条件②：利用同角三角函数基本关系得到，利用正弦定理得到，根据正弦的和差公式和三角形内角和得到，最后根据三角形面积公式求面积即可；
条件③：根据周长和余弦定理列方程，解方程得到，然后根据三角形面积公式求面积即可.
【小问1详解】
由正弦定理，，
因为，所以.
因为，所以，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
选择条件①：
因为，由正弦定理.
因为，所以不唯一，故条件①不成立.
选择条件②：
因为，，所以.
因为，由正弦定理.
又，，
所以.
所以的面积.
选择条件③：
因为的周长为，，即⑴，
由余弦定理得，，
所以，即⑵ ，
由⑴⑵解方程组，
所以的面积.
18. 如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，侧面底面，为侧棱的中点，为线段的中点
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）连接，交于点；根据三角形中位线可证得；由线面平行判定定理可证得结论；（Ⅱ）由等腰三角形三线合一可知；由面面垂直的性质可知平面；根据线面垂直性质可证得结论；（Ⅲ）利用体积桥的方式将所求三棱锥体积转化为；根据已知长度和角度关系分别求得四边形面积和高，代入得到结果.
【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于点
四边形为菱形 为中点
又为中点
平面，平面 平面
（Ⅱ）为正三角形，为中点
平面平面，平面平面，平面
平面，又平面
（Ⅲ）为中点
又，
，
由（Ⅱ）知，
【点睛】本题考查立体几何中线面平行、线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题；涉及到线面平行判定定理、面面垂直性质定理和判定定理的应用、体积桥的方式求解三棱锥体积等知识，属于常考题型.
19. 已知函数．
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若，求函数在区间上的最大值；
（3）若在区间上恒成立，求a的最大值.
【答案】（1）
（2）答案见详解 （3）1
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间；（2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值；（3）根据恒成立理解可得，分类讨论，结合（2）运算求解.
【小问1详解】
当时，，则，
令．因为 ，则
所以函数的单调递减区间是
【小问2详解】
．
令，由，解得，（舍去）．
当，即时，在区间上，函数在上是减函数．
所以函数在区间上的最大值为；
当，即时，x在上变化时，的变化情况如下表
所以函数在区间上的最大值为．
综上所述：
当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
【小问3详解】
当时，则在上恒成立
∴函数在上是减函数，则
∴成立
当时，由（2）可知：
①当时，在区间上恒成立，则成立；
②当时，由于在区间上是增函数，
所以 ，即在区间上存在使得，不成立
综上所述：a的取值范围为，即a的最大值为．
20. 已知函数，.
（1）当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
（2）若没有零点，求的取值范围.
【答案】（1）①；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；
②令，利用导数判断出在上有唯一零点，利用列表法证明出在上有唯一极大值点；
（2）令.对a分类讨论：①，得到当时，无零点；②，无零点，符合题意.
【小问1详解】
若，则，.
①处，，.
所以曲线在处的切线方程为.
②令，，
在区间上，，则在区间上是减函数.
又，
所以在上有唯一零点.
列表得：
所以在上有唯一极大值点.
【小问2详解】
，
令，则.
①若，则，在上是增函数.
因为，，
所以恰有一个零点.
令，得.
代入，得，
解得.
所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.
②若，此时的定义域为.
当时，，在区间上是减函数；
当时，，在区间上是增函数.
所以.
又，
由题意，当，即时，无零点，符合题意
综上，的取值范围是.
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
21. 已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.
（1）判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
（2）设数列具有性质，求证：；
（3）若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.
【答案】（1）数列，，，不具有性质；
（2）证明见解析； （3）可能取值只有.
【解析】
【分析】（1）由数列具有性质的定义，只需判断存在与都不是数列中的项即可.
（2）由性质知：、，结合非负递增性有，再由时，必有，进而可得，，，，，应用累加法即可证结论.
（3）讨论、、，结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质，进而确定的可能取值.
【小问1详解】
数列，，，不具有性质.
因为，，和均不是数列，，，中的项，
所以数列，，，不具有性质.
【小问2详解】
记数列的各项组成的集合为，又，
由数列具有性质，，所以，即，所以.
设，因为，所以.
又，则，，，，.
将上面的式子相加得：.
所以.
【小问3详解】
（i）当时，由（2）知，，，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
（ii）当时，存在数列，，，，符合题意，故可取.
（iii）当时，由（2）知，.①
当时，，所以，.
又，，
∴，，，，即.
由，，得：，，
∴.②
由①②两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
综上，满足题设的的可能取值只有.
【点睛】关键点点睛：第二问，由可知，并应用累加法求证结论；第三问，讨论k的取值，结合的性质，由性质、等差数列的性质判断不同k的取值情况下数列的存在性即可.
x
+
+
-
↗
↘
+
-
极大值