2024-2025学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∣−1≤x2}D. {x∣1≤x0且a+b=2，则1a+1b的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.函数y=4xx2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知a,b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=( )
A. −2B. 2C. −2 33D. 2 33
7.在二项式2x+1 x6展开式中，下列说法不正确的是( )
A. 第三项的二项式系数为15B. 所有项的二项式系数之和为64
C. 有理项共有3项D. 常数项为第五项
8.函数f(x)=−13x3+x2+3x+a(其中a∈R)的单调增区间是( )
A. (−∞,−1),(3,+∞) B. (−1,3) C. (−3,1) D. R
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是( )
A. 若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序
B. 若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序
C. 若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序
D. 若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序
10.下列说法中正确的有( )
A. 若2b=a+c，则a,b,c成等差数列
B. 若b2=ac，则a,b,c成等比数列
C. 若三角形的三个内角A､B､C成等差数列，则csB=12
D. 若直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是35
11.已知f(x)=(2−x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则下列描述正确的是( )
A. 偶数项的二项式系数和为128B. f(−1)除以5所得的余数是1
C. a1+a2+a3+⋯+a8=38D. 2a2+3a3+⋯+8a8=−8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为 ．
13.若函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|0)，
由a1=1,a5=9可知：4d=8⇒d=2，所以an=1+2(n−1)=2n−1，a2=3，a3=5，
又因为a2是a1+b1与b3−a3的等差中项，
所以2a2=a1+b1+b3−a3，即6=1+2+2q2−5⇒q=2，
所以bn=2n．
(2)因为1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1，
所以Sn=121−13+13−15+⋯⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1=n2n+1．
(3)cn=12⋅2n⋅2n=n⋅2n，
Tn=1⋅21+2⋅22+⋯⋯+(n−1)2n−1+n⋅2n①，
2Tn=1⋅22+2⋅23+⋯⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1②，
②−①得：Tn=−2−22+⋯⋯−2n+n⋅2n+1=−21−2n1−2+n⋅2n+1=2−2n+1+n⋅2n+1=(n−1)2n+1+2．

17.解：(1)因为PC=PD，O为CD的中点，
所以PO⊥CD．
又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PO⊂平面PCD，
所以PO⊥平面ABCD．
因为CD=2，PC⊥PD，PC=PD，所以PO=1．
取AB的中点E，连接OE，则OE⊥CD，
以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O−xyz，
则O(0,0,0)，D(1,0,0)，C(−1,0,0)，B(−1,2,0)，P(0,0,1)，A(1,2,0)．
PB=(−1,2,−1)，PD=(1,0,−1)，
因为PB⋅PD=−1+0+1=0，
所以PB⊥PD．
(2)设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AP=0m⋅AB=0，即−x−2y+z=0−2x=0,
解得x=0，令y=1，则z=2，则m=(0,1,2)．
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，
又PC=(−1,0,−1)，
则sinθ=csm,PC=m⋅PCmPC=(0,1,2)⋅(−1,0,−1) 1+4× 1+1=|−2| 5⋅ 2= 105，
所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 105．

18.解：(1)设P(x,y)(x≥0)由题意， (x−1)2+y2=x+1(x≥0)
两边平方，整理得：y2=4x
所以所求点P的轨迹方程为C:y2=4x．
(2)①设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x=my+4．
代入抛物线方程y2=4x，得y2−4my−16=0．
设Ax1,y1､Bx2,y2，则y1+y2=4m,y1y2=−16.
∴x1x2+y1y2=my1+4my2+4+y1y2=1+m2y1y2+4my1+y2+16=0．
∴OA⊥OB．
②设Dx3,y3､Ex4,y4，直线DE的方程为x=ty+λ，
代入x216+y212=1，得3t2+4y2+6tλy+3λ2−48=0．
于是y3+y4=−6tλ3t2+4，y3y4=3λ2−483t2+4．
从而x3x4=ty3+λty4+λ=4λ2−48t23t2+4
∵OD⊥OE，∴x3x4+y3y4=0．
代入，整理得7λ2=48t2+1．
∴原点到直线DE的距离d=|λ| 1+t2=4 217为定值．

19.解：(1)当a=2时，f(x)=x3−2x2−4x+1，则f′(x)=3x2−4x−4，
从而f(1)=−4，f′(1)=−5，
故所求切线方程为y+4=−5(x−1)，即y=−5x+1(或5x+y−1=0).
(2)由题意可得f′(x)=3x2−2ax−a2=(3x+a)(x−a)．
当−a3>a，即a0，得x −a3，由f′(x)a，由f′(x)