河南省开封六中八年级（下）期末数学试卷

这是一份河南省开封六中八年级（下）期末数学试卷，共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）分式|x|−4x−4的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣4C．4D．﹣4或4
2．（3分）若点（3，﹣4）在反比例函数y=kx的图象上，那么下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（﹣2，6）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（﹣2，﹣6）
3．（3分）反比例函数y=kx的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．12B．−32C．3D．﹣6
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．平行四边形一定是轴对称图形
5．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，若BD＝10，AC＝6．则AD的长为（ ）
A．8B．25C．10D．213
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），A4（2，2），A5（4，0），A6（1，﹣3），A7（﹣2，0），A8（2，4），A9（6，0），依图中所示规律，点A2024的坐标为（ ）
A．（2，1014）B．（1，﹣1014）C．（1，﹣1012）D．（2，1012）
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=1x(x＞0)图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y=kx(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．过点E作EP∥AB，交反比例函数y=kx(k＞0，x＜0)的图象于点P，连结OP．若S△EOP＝1.5，则k的值为（ ）
A．4B．6C．10D．12
8．（3分）如图，矩形ABCD中，若DE⊥AC于E，则∠DOC与∠CDE的度数比为（ ）
A．4：3B．3：2C．2：1D．1：1
9．（3分）教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是s2，则（ ）
A．x＜7.5，s2＝1.64B．x=7.5，s2＞1.64
C．x＞7.5，s2＜1.64D．x=7.5，s2＜1.64
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．48
二、填空题（共15分）
11．（3分）关于x的分式方程7xx−1−2m−1x−1=−5无解，则m的值为 ．
12．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为 km/h．
13．（3分）在测量液体密度的实验中，根据测得的液体和烧杯的总质量m（g）与液体的体积V（cm3），绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则当V＝80cm3时，m为 g．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BCA＝60°，∠BAE＝150°，DC⊥AB且DC＝AE，若DC＝kAG（k为常数且k＞3)，设AG＝x，DE＝y，则y关于x的函数解析式为 （用含有k的代数式表示）．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为 时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题（共75分）
16．（10分）先化简（x2−4x+4x2−x）÷（1−1x−1），然后从−3＜x＜3范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．（8分）（1）按要求作图．四边形ABCD是平行四边形，E为BC上一点，且CE＝CD，作∠ABC的平分线BH．（仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹）．
（2）请说明第（1）题中作图方法的正确性．
18．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求出DF的长；
（2）在AB上找一点P，连接FP使FP⊥AC，连接PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由．
19．（9分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1和反比例函数y=bx的图象交于A，B两点，且A（1，2），如图所示．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式kx+1＞2x的解集．
20．（8分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某校必考为了解该校八年级和九年级学生视力健康状况，从八年级和九年级学生中各随机抽取20名学生的视力数据，进行了如下的整理分析．
收集数据：
八年级学生视力数据如下：
4.1 4.1 4.2 4.4 4.8 4.9 5.0 5.2 4.3 4.5
4.6 4.6 5.1 5.3 4.4 4.3 5.2 5.3 4.6 4.7
九年级学生视力数据如下：
5.2 4.2 4.3 4.5 5.0 5.1 4.6 4.8 4.5 4.1
4.2 4.3 4.1 4.5 4.5 4.4 4.8 5.2 4.9 4.9
整理数据：
将数据分为A.5.1≤x≤5.3，B.4.9≤x＜5.1，C.4.7≤x＜4.9，D.4.5≤x＜4.7，E.4.3≤x＜4.5，F.4.1≤x＜4.3六组，并绘制成如下不完整的统计图：
数据分析：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；并将频数分布直方图补充完整．
（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜4.9”这一组所在扇形圆心角的度数为 °．
（3）根据所给数据，你认为哪个年级学生的视力健康状况更好一些？并结合相关统计量说明理由．
21．（10分）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，也是比较少能享有地理标志保护的荔枝，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元．
（1）糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，共有多少不同的种进货方案？如果该经销商将购进的荔枝按照糯米糍每箱160元，桂味每箱200元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
22．（10分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2），A（2，﹣1）、B（4，3）．
（1）将△ABC先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′；
（2）分别写出平移后的三个顶点坐标A′、B′、C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
23．（11分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点．例如，图1中的P，Q两点即为和谐点．
（1）已知点A（3，﹣1）．
①在点E（﹣4，0），F（1，1），G（2，0）中，点A的和谐点是 ；
②若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，则点B的坐标是 ；
（2）已知点C（3，0），点D（0，﹣3），连接CD，点M为线段CD上一点．
①经过点（n，0）且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，则n的取值范围是 ；
②若点S（m，0），点T（m+2，0），在以线段ST为斜边的等腰直角三角形的某条边上存在点K，使得M，K两点为和谐点，则m的取值范围是 ．
河南省开封六中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、单选题（共30分）
1．（3分）分式|x|−4x−4的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣4C．4D．﹣4或4
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
【解答】解：∵分式|x|−4x−4的值为0，
∴|x|﹣4＝0且x﹣4≠0，
解得x＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．
2．（3分）若点（3，﹣4）在反比例函数y=kx的图象上，那么下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（﹣2，6）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（﹣2，﹣6）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】A
【分析】根据点（3，﹣4）在反比例函数y=kx的图象上，求出k，再利用A，B，C，D，所给点判断即可．
【解答】解：点（3，﹣4）在反比例函数y=kx的图象上，
∴xy＝k＝3×（﹣4）＝﹣12，
∴只有xy＝﹣12才符合要求，
∴只有A符合要求：﹣2×6＝﹣12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据已知得出xy＝﹣12是解题关键．
3．（3分）反比例函数y=kx的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．12B．−32C．3D．﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据AB∥y轴，△ABC的面积＝△OAB的面积，继而得到丨k丨＝2S△OAB＝2×3＝6，再根据图象所在象限确定k的具体值即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB∥y轴，
∴△ABC的面积＝△OAB的面积，
∵丨k丨＝2S△OAB＝2×3＝6，
∴丨k丨＝6，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，找的等面积的两个三角形是关键．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．平行四边形一定是轴对称图形
【考点】正方形的判定；轴对称图形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可判断A不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断B不符合题意；对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，则对角线相等的菱形是正方形，可判断C符合题意；平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
故A不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，
∴一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
故B不符合题意；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，
∴对角线相等的菱形是正方形，
故C符合题意；
平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、轴对称图形等知识，正确理解和掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义和判定定理是解题的关键．
5．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，若BD＝10，AC＝6．则AD的长为（ ）
A．8B．25C．10D．213
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO＝3，BO＝DO＝5，BC＝AD，由勾股定理可求AB，BC的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝5，BC＝AD，
∵AB⊥AC，
∴AB=BO2−AO2=25−9=4，
∴BC=AB2+AC2=16+36=213，
∴AD＝BC＝213，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），A4（2，2），A5（4，0），A6（1，﹣3），A7（﹣2，0），A8（2，4），A9（6，0），依图中所示规律，点A2024的坐标为（ ）
A．（2，1014）B．（1，﹣1014）C．（1，﹣1012）D．（2，1012）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】D
【分析】观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可．
【解答】解：∵A4（2，2），A8（2，4）⋯⋯A4n（2，2n），
∴2024÷4＝506，
∴把n＝506代入A4n（2，2n）可得：A2024（2，1012），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=1x(x＞0)图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y=kx(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．过点E作EP∥AB，交反比例函数y=kx(k＞0，x＜0)的图象于点P，连结OP．若S△EOP＝1.5，则k的值为（ ）
A．4B．6C．10D．12
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】作PF⊥y轴，由题意得PF：AE=1.5：12=3：1，设点A(a，1a)，则点P(−3a，−k3a)，结合S△EPA＝S△EOP＝1.5即可求解．
【解答】解：作PF⊥y轴于点F，连AP，如图所示：
∵点A是反比例函数y=1x(x＞0)图象上的一个动点，AE⊥y轴，
∴S△AEO=12×1=12
∵S△EOP＝1.5，
∴PF：AE=1.5：12=3：1
设点A(a，1a)，则点P(−3a，−k3a)
∵EP∥AB，
∴S△EPA＝S△EOP＝1.5
∴12×a×(1a+k3a)=1.5，
解得：k＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，根据图形面积求反比例函数的比例系数是关键，
8．（3分）如图，矩形ABCD中，若DE⊥AC于E，则∠DOC与∠CDE的度数比为（ ）
A．4：3B．3：2C．2：1D．1：1
【考点】矩形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形性质得到∠ODC＝∠OCD，根据垂直得到∠OCD＝90°﹣∠CDE，利用三角形内角和表示出∠ODC=12(180°−∠DOC)，即可求出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠OCD+∠CDE＝90°，即∠OCD＝90°﹣∠CDE，
∵∠ODC=∠ODE+∠EDC=12(180°−∠DOC)，
∴90°−∠CDE=12(180°−DOC)，
∴∠DOC＝2∠CDE，
则∠DOC与∠CDE的度数比为2：1，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9．（3分）教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是s2，则（ ）
A．x＜7.5，s2＝1.64B．x=7.5，s2＞1.64
C．x＞7.5，s2＜1.64D．x=7.5，s2＜1.64
【考点】方差；算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【解答】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为6+9＝15，实际的两个数的和为8+7＝15，
所以更正后实际成绩的平均数是x与原来平均数相同，方差变小，
所以x=7.5，s2＜1.64，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．48
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【解答】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
二、填空题（共15分）
11．（3分）关于x的分式方程7xx−1−2m−1x−1=−5无解，则m的值为 4 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式；运算能力．
【答案】4．
【分析】先把分式方程化为12x＝4+2m，再根据分式方程无解求解即可．
【解答】解：7xx−1−2m−1x−1=−5
去分母得：7x﹣（2m﹣1）＝﹣5（x﹣1），
去括号得：7x﹣2m+1＝﹣5x+5，
移项、合并同类项得得：12x＝4+2m，
当x﹣1＝0，即x＝1时，原方程无解，
∴代入得12＝4+2m，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件．
12．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为 10 km/h．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用顺水速＝静水速+水速，逆水速＝静水速﹣水速，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设江水的流速为x km/h，根据题意可得：
12030+x=6030−x，
解得：x＝10，
经检验得：x＝10是原方程的根，
答：江水的流速为10km/h．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
13．（3分）在测量液体密度的实验中，根据测得的液体和烧杯的总质量m（g）与液体的体积V（cm3），绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则当V＝80cm3时，m为 212 g．
【考点】函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设m＝kV+b（k≠0），将（20，158），（120，248）代入解析式求得m＝0.9V+140，当V＝80cm3时，求出m的值即可．
【解答】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量m（g）与液体的体积V（cm3）为一次函数关系，
设m＝kV+b（k≠0），
将（20，158），（120，248）代入解析式得：20k+b=158120k+b=248，
解得：k=0.9b=140，
∴m＝0.9V+140，
当V＝80cm3时，m＝0.9×80+140＝212（g），
故答案为：212．
【点评】本题考查了函数图象，一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法解决问题．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BCA＝60°，∠BAE＝150°，DC⊥AB且DC＝AE，若DC＝kAG（k为常数且k＞3)，设AG＝x，DE＝y，则y关于x的函数解析式为 y＝xk2+4 （用含有k的代数式表示）．
【考点】勾股定理；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过E作EH∥AC，截取 EH＝AC，连接CH、DH．得出四边形AEHC是平行四边形，根据平行四边形的性质得出△DCH是等边三角形，进而证明△DHE是直角三角形，再根据勾股定理即可解答．
【解答】解：如图，过E作EH∥AC，截取 EH＝AC，连接CH、DH．
∴四边形AEHC是平行四边形，
∵DC⊥AB，AB＝AC，∠BCA＝60°，
∴∠DCA＝30°，
∴AC＝2AG＝2x，
∵∠BAE＝150°，
∴∠CAE＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝150°，
∴∠ACH＝30°，
∴∠DCH＝60°，
∴DC＝AE＝CH＝kx，
∴△DCH为等边三角形，
∴∠DHC＝60°，
∴∠DHE＝150°﹣60°＝90°，
根据勾股定理 DH2+HE2＝DE2，
∴（kx）2+（2x）2＝y2，
∴y=k2+4x，
故答案为：y＝xk2+4．
【点评】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为 0或4或203或8 时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】4或203或8．
【分析】根据平行四边形的性质得到PD∥BQ，只需PD＝BQ，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，故分情况讨论列方程求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴BC＝AD＝10cm，AD∥BC，即PD∥BQ，
若PD＝BQ，则以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形；
设运动时间为t s，当P到D的时间为t＝10÷1＝10（s），点Q到B的时间为t＝10÷4＝2.5（s），
根据题意，分四种情况：
①当0＜t≤2.5时，AP＝tcm，BQ＝4tcm，则PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（10﹣4t）cm，
∴10﹣4t＝10﹣t，
解得t＝0，不合题意舍去；
②当2.5＜t≤5时，AP＝tcm，BQ＝（4t﹣10）cm，则PD＝（10﹣t）cm，
∴4t﹣10＝10﹣t，解得t＝4；
③当5＜t≤7.5时，AP＝tcm，BQ＝（30﹣4t）cm，则PD＝（10﹣t）cm，
∴30﹣4t＝10﹣t，解得t=203；
④当7.5＜t≤10时，AP＝tcm，BQ＝（4t﹣30）cm，则PD＝（10﹣t）cm，
∴4t﹣30＝10﹣t，解得t＝8，
综上，当t为4或203或8时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（共75分）
16．（10分）先化简（x2−4x+4x2−x）÷（1−1x−1），然后从−3＜x＜3范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值；估算无理数的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=(x−2)2x(x−1)÷x−2x−1
=(x−2)2x(x−1)×x−1x−2
=x−2x，
当x＝﹣1时，原式=−3−1=3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．（8分）（1）按要求作图．四边形ABCD是平行四边形，E为BC上一点，且CE＝CD，作∠ABC的平分线BH．（仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹）．
（2）请说明第（1）题中作图方法的正确性．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）图见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交AD于点H，连接BH，则BH是∠ABC的平分线；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，得到OA＝OC，AD∥BC，AB＝CD，证明△AOH≌△COE，得到AH＝CE，结合已知得到△ABH为等腰三角形，再根据AD∥BC，得到∠AHB＝∠CBH，即可证明BH是∠ABC的平分线．
【解答】解：（1）如图，连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交AD于点H，连接BH，则BH是∠ABC的平分线．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，AB＝CD，
∵AD∥BC，
∴∠HAO＝∠ECO，
又∠AOH＝∠COE，
∴△AOH≌△COE（ASA），
∴AH＝CE，
又∵CE＝CD，
∴AH＝CE＝CD＝AB，
∴∠ABH＝∠AHB，
∵AD∥BC，
∴∠AHB＝∠CBH，
∴∠ABH＝∠CBH．
∴BH是∠ABC的平分线．
【点评】本题考查了复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求出DF的长；
（2）在AB上找一点P，连接FP使FP⊥AC，连接PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】推理能力．
【答案】（1）74；
（2）菱形，理由见解析．
【分析】（1）由矩形ABCD，折叠的性质可知，∠EAC＝∠DCA，则AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝8﹣x，由勾股定理得，AF2﹣DF2＝AD2，即（8﹣x）2﹣x2＝62，计算求解即可；
（2）如图，连接BD交AC于O，连接FO并延长，交AB于P，点P即为所作；证明△FCO≌△PAO（ASA），则OF＝OP，由OC＝OA，FP⊥AC，可得四边形APCF是菱形．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴CD＝AB＝8，CD∥AB，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝∠BAC，
由折叠的性质可知，∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴AF＝CF，
设DF＝x，则AF＝CF＝8﹣x，
由勾股定理得，AF2﹣DF2＝AD2，即（8﹣x）2﹣x2＝62，
解得，x=74，
∴DF的长为74；
（2）四边形APCF是菱形，理由如下；
如图，连接BD交AC于O，
∴O为AC的中点，
连接FO并延长，交AB于P，
∵AF＝CF，OA＝OC，
∴FP⊥AC，即点P即为所作；
∵∠FCO＝∠PAO，OC＝OA，∠FOC＝∠POA，
∴△FCO≌△PAO（ASA），
∴OF＝OP，
又∵OC＝OA，FP⊥AC，
∴四边形APCF是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．
19．（9分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1和反比例函数y=bx的图象交于A，B两点，且A（1，2），如图所示．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式kx+1＞2x的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y=2x，y＝x+1；（2）1.5；（3）﹣2＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出一次函数与y轴的交点纵坐标和点B的坐标，再用割补法求解即可；
（3）利用数形结合的思想，可求出不等式的解集．
【解答】解：（1）将A（1，2）代入y=bx得，2=b1，
解得b＝2．
所以反比例函数的解析式为：y=2x．
将A（1，2）代入y＝kx+1得，2＝k+1，
解得k＝1．
所以一次函数的解析式为：y＝x+1．
（2）y=x+1y=2x，
解得x1=−2y1=−1，x2=1y2=2，
∴B（﹣2，﹣1）．
把x＝0代入y＝x+1，得y＝0+1＝1，
∴OC＝1，
∴△AOB的面积=S△OCB+S△OCA=12×1×2+12×1×1=1.5．
（3）观察图象发现：不等式kx+1＞2x的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键．
20．（8分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某校必考为了解该校八年级和九年级学生视力健康状况，从八年级和九年级学生中各随机抽取20名学生的视力数据，进行了如下的整理分析．
收集数据：
八年级学生视力数据如下：
4.1 4.1 4.2 4.4 4.8 4.9 5.0 5.2 4.3 4.5
4.6 4.6 5.1 5.3 4.4 4.3 5.2 5.3 4.6 4.7
九年级学生视力数据如下：
5.2 4.2 4.3 4.5 5.0 5.1 4.6 4.8 4.5 4.1
4.2 4.3 4.1 4.5 4.5 4.4 4.8 5.2 4.9 4.9
整理数据：
将数据分为A.5.1≤x≤5.3，B.4.9≤x＜5.1，C.4.7≤x＜4.9，D.4.5≤x＜4.7，E.4.3≤x＜4.5，F.4.1≤x＜4.3六组，并绘制成如下不完整的统计图：
数据分析：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 4.65 ，b＝ 4.5 ；并将频数分布直方图补充完整．
（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜4.9”这一组所在扇形圆心角的度数为 36 °．
（3）根据所给数据，你认为哪个年级学生的视力健康状况更好一些？并结合相关统计量说明理由．
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b的值，根据TMD数据可补全频数分布直方图；
（2）用360°乘C所占的百分比即可；
（3）利用平均数，众数和中位数的意义分析即可．
【解答】解：（1）八年级的中位数a=4.6+4.72=4.65，
九年级的众数b＝4.5，
八年级4.3≤x＜4.5的人数为3个，5.1≤x≤5.3的人数为4个，
补全统计图：
故答案为：4.65，4.5；
（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜4.9”这一组所在扇形圆心角的度数为220×360°=36°，
故答案为：36；
（3）八年级学生的视力情况谁更健康，理由如下：
∵八年级学生的视力的平均数高于九年级，且八年级学生的视力的中位数和众数均高于九年级，
∴八年级学生的视力情况谁更健康．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数、平均数定义是解题的关键．
21．（10分）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，也是比较少能享有地理标志保护的荔枝，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元．
（1）糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，共有多少不同的种进货方案？如果该经销商将购进的荔枝按照糯米糍每箱160元，桂味每箱200元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）糯米糍每箱的价格是120元，桂味每箱的价格是150元；
（2）购进糯米糍20箱，桂味20箱时，获利最多．
【分析】（1）设糯米糍每箱的价格是a元，桂味每箱的价格是b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设糯米糍有x箱，则桂味有（40﹣x）箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出20≤x≤30，设利润为y，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）（1）设糯米糍每箱的价格是a元，桂味每箱的价格是b元，
根据题意得：2a+3b=690a+4b=720，
解得：a=120b=150，
答：糯米糍每箱的价格是120元，桂味每箱的价格是150元；
（2）设糯米糍有x箱，则桂味有（40﹣x）箱，
由题意可得：x≤3(40−x)120x+150(40−x)≤5400，
解得：20≤x≤30，
∵x为正整数，
∴共有11 种方案，
设利润为y，则y＝（160﹣120）x+（200﹣150）（40﹣x）＝40x+2000﹣50x＝﹣10x+2000，
∵﹣10＜0，
∴获利随x的增加而减小，
∴当x＝20时，获利最多，
所以购进糯米糍20箱，桂味20箱时，获利最多．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（10分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2），A（2，﹣1）、B（4，3）．
（1）将△ABC先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′；
（2）分别写出平移后的三个顶点坐标A′、B′、C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图可知：A′（1，1），B′（3，5），C′（0，4）；
（3）△ABC的面积：3×4−12×1×3−12×2×4−12×1×3=5．
【点评】本题考查作图——平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质学会用分割法求三角形面积．
23．（11分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两条坐标轴的距离之和等于点Q到两条坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为和谐点．例如，图1中的P，Q两点即为和谐点．
（1）已知点A（3，﹣1）．
①在点E（﹣4，0），F（1，1），G（2，0）中，点A的和谐点是 E（﹣4，0） ；
②若点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，则点B的坐标是 （0，4）或（0，﹣4） ；
（2）已知点C（3，0），点D（0，﹣3），连接CD，点M为线段CD上一点．
①经过点（n，0）且垂直于x轴的直线记作直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为和谐点，则n的取值范围是 ﹣3≤n≤3 ；
②若点S（m，0），点T（m+2，0），在以线段ST为斜边的等腰直角三角形的某条边上存在点K，使得M，K两点为和谐点，则m的取值范围是 ﹣5≤m≤﹣3或1≤m≤3 ．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据和谐点的定义即可求解．
②根据点到坐标轴的距离，结合和谐点的定义，设B（0，y），则|y|＝4，即可求解；
（2）①待定系数法求得直线CD的解析式为y＝kx﹣3，进而可得点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，根据定义可得|x|+|y|＝x﹣y＝3，即点M的和谐点N满足横纵坐标的绝对值之和为3，则点N在图中所示的正方形CDEF上．
②根据①的方法可得当正方形SK′TK与正方形CDEF有交点时，符合题意，结合图形，即可求解．
【解答】解：（1）①∵点A（3，﹣1）
∴3+1＝4，
点E（﹣4，0），F（1，1），G（2，0）中，
4+0＝4，1+1＝2，2+0＝2，
∴点A的和谐点是E（﹣4，0）；
故答案为：E（﹣4，0）．
②∵点B在y轴上，且A，B两点为和谐点，
∴B点的横坐标为0，
设B（0，y），
∴|y|＝4，
∴y＝±4，
∴B（0，4）或（0，﹣4），
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
（2）①由题意，点C（3，0），点D（0，﹣3），
设直线CD的解析式为y＝kx﹣3，将C（3，0）代入得，
0＝3k﹣3
解得：k＝1，
∴直线CD的解析式为：y＝x﹣3
点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），则有：
x≥0，y≤0，且y＝x﹣3．
点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，
则|x|+|y|＝x﹣y＝3．
∴点M的和谐点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．
即点N在图中所示的正方形CDEF上．
∵点E的坐标为（﹣3，0），点N在直线x＝n上，
∴﹣3≤n≤3．
故答案为：﹣3≤n≤3．
②依题意，以线段ST为斜边的等腰直角三角形，点K，K′为直角三角形的顶点，如图所示，
则四边形SK′TK是正方形，
∴当正方形SK′TK与正方形CDEF有交点时，符合题意，
∴﹣3≤m+2≤﹣1或1≤m≤3，
即﹣5≤m≤﹣3或1≤m≤3，
故答案为：﹣5≤m≤﹣3或1≤m≤3．
【点评】本题考查了几何综合题，点到坐标轴的距离，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，数形结合是解题的关键．
考点卡片
1．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
2．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
4．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
5．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
6．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
7．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
8．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
9．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
10．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
11．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
14．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
15．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
16．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
17．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
22．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
25．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
27．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
28．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
29．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×频率组距=频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
30．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
33．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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平均数
中位数
众数
八年级
4.68
a
4.6
九年级
4.605
4.5
b
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
C
D
D
B
C
D
D
平均数
中位数
众数
八年级
4.68
a
4.6
九年级
4.605
4.5
b