安徽省五校2025届高三下学期第二次联考数学试卷（解析版）

这是一份安徽省五校2025届高三下学期第二次联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合U=0,1,2,3,4,P=0,1,2,3,Q=1,2,4，则P∩∁UQ=（ ）
A．0B．0,3C．2D．1,2
【答案】B
【解析】因为集合U=0,1,2,3,4,P=0,1,2,3,Q=1,2,4，∁UQ=0,3，
P∩∁UQ=0,3.
故选：B.
2．若复数z=1-i，实数a,b满足z+bz-a=0，则a+b=（ ）
A．-1B．-4C．1D．4
【答案】D
【解析】法一：因为z=1-i，
所以z+bz-a=1-i+b1-i-a=1-i+b1+i2-a=1-a+b2+b2-1i=0，
所以1-a+b2=0-1+b2=0，解得a=b=2，故a+b=4；
法二：z+bz-a=0，故z2-az+b=0，
因为z=1-i是z2-az+b=0的根，故z=1+i是方程的另一个根，
由韦达定理得1-i+1+i=a，1-i1+i=b，
故a=2,b=1-i2=2，所以a+b=4.
故选：D
3．lne2sin15∘=（ ）
A．6-22B．5-12C．6+24D．5+12
【答案】C
【解析】因为cs15∘=cs45∘-30∘=22⋅32+22⋅12=6+24，
所以lne2sin15∘=14sin15∘=sin30∘2sin15∘=2sin15∘cs15∘2sin15∘=cs15∘=6+24.
故选：C
4．研究变量x，y得到一组成对数据xi,yi,i=1,2,⋯,n，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据xn+1,yn+1，其中xn+1=1ni=1nxi，yn+1=1ni=1nyi，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．变量x与变量y的相关性变强B．相关系数r的绝对值变小
C．线性回归方程y=ax+b不变D．拟合误差Q变大
【答案】C
【解析】设变量x，y的平均数分别为x，y，
则x=1ni=1nxi，y=1ni=1nyi，即x=xn+1，y=yn+1，
可知新数据的样本中心点不变，仍为x,y，
对于AB：可得i=1n+1xi-x2=i=1nxi-x2+xn+1-x2=i=1nxi-x2，
同理可得i=1n+1yi-y2=i=1nyi-y2,i=1n+1xi-xyi-y=i=1nxi-xyi-y，
则相关系数r=i=1n+1xi-xyi-yi=1n+1xi-x2i=1n+1yi-y2=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2，
可知相关系数r的值不变，变量x与变量y的相关性不变，故AB错误；
对于C：因为b=i=1n+1xi-xyi-yi=1n+1xi-x2=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2，且线性回归方程过样本中心点x,y，
即b,a均不变，所以线性回归方程y=ax+b不变，故C正确；
因为xn+1,yn+1即为样本中心点，即yn+1=yn+1，
可知残差平方和i=1n+1yi-yi2不变，
所以拟合误差Q不变，故D错误；
故选：C.
5．已知fx=-x2+ax,x≤1,ax-1,x>1,若函数y=fx有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,2B．0,2C．0,3D．0,3
【答案】A
【解析】因x≤1时，fx=-x2+ax=-(x-a2)2+a24，函数图象的对称轴为x=a2，
当a21时，fx=ax-1，且f1=-1+a，
由函数的性质，可知要使fx还有一个极值，那就是f1=-1+a，
所以必须使a>0，
则由a>0a21，得fx0,y=e1-xfx为增函数，x>0时，y'0，
所以y=ex-1fx在R上为增函数，∴函数y= ex-1fx无最小值，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12．抛物线C:y2=13x的焦点为F，准线为l，点Ma,a，圆M过点F且与l相切，试写出点M的一个可能坐标为 .
【答案】0,0（答案不唯一）
【解析】方法一：∵圆M过点F且与l相切，
∴点M到点F的距离与到准线l的距离相等，故点M在抛物线上，
∴a2=13a，即a2-13a=0，解得a=0或a=13，
∴点M的坐标为0,0或13,13.
方法二：由题意得，F112,0，l:x=-112，
∴MF=a-1122+a2，点M到准线l的距离为a+112，
∵圆M过点F且与l相切，
∴a+112=a-1122+a2，
整理得a2-13a=0，解得a=0或a=13，
∴点M的坐标为0,0或13,13.
故答案为：0,0（答案不唯一）.
13．已知正四面体ABCD的棱长为2，动点P满足PA2+PB2=PC2+PD2，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 .
【答案】1
【解析】把正四面体ABCD还原成正方体，以正方体的中心为原点，垂直于共点的三个面的直线分别为x,y,z轴建立 空间直角坐标系，
设正四面体的四个顶点为A22,22,22,B-22,-22,22,C-22,22,-22,D22,-22,-22，
每条棱长均为2，设动点P(x,y,z)，
PA2=x-222+y-222+z-222，
PB2=x+222+y+222+z-222,
PC2=x+222+y-222+z+222,
PD2=x-222+y+222+z+222
故PA2+PB2=2x2+2y2+2z2-22z+3，
PC2+PD2=2x2+2y2+2z2+22z+3，
因为PA2+PB2=PC2+PD2，
所以z=0，即所有满足条件的点P构成的平面为z=0平面（xy平面），

而A,B,C,D为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点，故平面xy与正四面体相交于棱BD,AD,BC,AC的中点处，
由于正四面体中AB⊥CD,因此截的四边形为正方形，且边长为12AB=1,故面积为1
故答案为：1.
14．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，159=2×82+3×8+7，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的719，则这个八进制数的最后一位数字为 .
【答案】7
【解析】719=(8-1)19=819-C191×818+C192×817-C193×816+C194×815+⋯+C1918×8-1，
而C1918×8-1=151=2×82+2×8+7，故最后一位数为7.
故答案为：7
四、解答题
15．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为78，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为12.已知输入的问题表达不清晰的概率为15.
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差.
解：（1）设A=“智能客服的回答被采纳”，B=“输入的问题表达不清晰”，
依题意，P(B)=15,P(B)=45，P(A|B)=12,P(A|B)=78，
因此P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=15×12+45×78=45，
所以智能客服的回答被采纳的概率为45.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X∼B(3,45)，
P(X=0)=C30(45)0(15)3=1125,P(X=1)=C31(45)1(15)2=12125，
P(X=2)=C32(45)2(15)1=48125,P(X=3)=C33(45)3(15)0=64125，
所以X的分布列为：
数学期望E(X)=3×45=125；D(X)=3×45×15=1225.
16．已知x29+y2=1和xy=t交于A,B,C,D四点.
（1）求t的取值范围；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值.
解：（1）联立x29+y2=1①,xy=t②,
把②代入①中，得x29+t2x2=1，即x4-9x2+9t2=0
方法一：根的分布
当t=0时，满足要求
当t≠0时，令u=x2，则u2-9u+9t2=0，
要使原方程有四个不等实根，只要u2-9u+9t2=0有两不等正根即可
设u1,u2是方程u2-9u+9t2=0两根，
则Δ=81-36t2>0u1+u2=9>0u1u2=9t2>0，
所以-320时，g't≥0，得a≥-2ett.
令ht=-2ett，则h't=-2t-1ett2，
易得当00，得x0，得x>0，由f'x