中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题40代数综合压轴题(原卷版+解析)

这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题40代数综合压轴题(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了配方法的应用，一元二次方程与二次函数的综合，含参二次函数，二次函数与几何综合，绝对值概念的应用等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•南京模拟）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
2．（2022秋•和平区校级期末）已知多项式A＝2x2+my﹣12，B＝nx2﹣3y+6．
（1）若（m+2）2+|n﹣3|＝0，化简A﹣B；
（2）若A+B的结果中不含有x2项以及y项，求m+n+mn的值．
3．已知a+b+c＝1，b2+c2﹣4ac+6c+1＝0，求abc的值．
类型二 一元二次方程与二次函数的综合
4．（2011•东城区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a：b＝2：3，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数y＝x2+2ax+b2的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D．若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x﹣y的最大值．
5．（2021秋•沙市区校级期中）已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点．
类型三 含参二次函数
6．（2021•邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．
（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；
（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；
（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；
（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
7．（2022•河南模拟）已知二次函数y＝（t+1）x2+2（t+2）x+32在x＝0和x＝2时的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；
（3）把二次函数的图象与x轴两个交点之间的部分记为图象G，把图象G向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为M，请结合图象回答：当（2）中得到的直线与图象M有公共点时，求n的取值范围．
8．已知抛物线y＝mx2+（3﹣2m）x+m﹣2（m≠O）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m＝1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′，Q，P三点，画出抛物线草图．
9．（2020•西青区二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（I）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；
（II）①试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C1，直接写出C1的解析式；
（III）若（II）中抛物线C1的顶点到x轴的距离为2，求a的值．
类型四 二次函数与几何综合
10．（2022•东海县一模）如图，已知抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在抛物线y=−12x2+32x+2上，若x1+x2＝1，请证明：y1＞y2；
（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM＝90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．
11．（2021秋•越秀区校级期中）已知抛物线y＝x2+2ax+a2﹣2（a为常数）．
（1）求证：无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点；
（2）抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，抛物线顶点为点D．
①若x1，x2是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，求a的值；
②点E在抛物线对称轴上，△BDE是等腰三角形，求出点E的纵坐标．
类型五 一次函数与二次函数的综合实际应用
12．（2022•铁西区二模）某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如表：
（1）请根据上述关系，完成表格．
（2）用含有×的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；
（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
类型六 绝对值概念的应用
13．（2021秋•姜堰区期中）【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，求M、N两点之间的距离MN．
小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：
解：因为m＞n，所以有以下情况：
情况1：若m＞0，n＞0，如图①，M、N两点之间的距离MN＝|m|﹣|n|＝m﹣n；
情况2：若m≥0，n＜0，如图②，M、N两点之间的距离MN＝|m|+|n|＝m﹣n；
情况3：若m＜0，n＜0，如图③，M、N两点之间的距离MN＝|n|﹣|m|＝m﹣n．
由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，则M、N两点之间的距离MN＝m﹣n．
【应用】
在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c．
（1）若b＝1，AB＝2，则a＝ ．
（2）若a＝﹣2，b＝4，点C到点A的距离是点C到点B距离的n（n＞0）倍．
①当n=12时，求c的值；
②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围 ．
（3）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，当ab的值最大时，求A、B两点之间的距离AB．
销售单价（元/千克）
…
70
75
80
85
…
x
…
月销售量（千克）
…
100
90
80

…

…
专题40 代数综合压轴题（解析版）
类型一 配方法的应用
1．（2022•南京模拟）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝ ，b＝ ；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；
（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
思路引领：（1）将a2+4ab+5b2+6b+9＝0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出a，b的值；
（2）将a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出a，b的值，根据三角形的三边关系求出c；
（3）让多项式3a2+3a﹣4与2a2+4a﹣6作差，结果配方，根据偶次方的非负性判断大小．
解：（1）a2+4ab+5b2+6b+9＝a2+4ab+4b2+b2+6b+9＝（a+2b）2+（b+3）2＝0，
∴a+2b＝0，b+3＝0，
解得a＝6，b＝﹣3．
故答案为：6，﹣3；
（2）a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝a2﹣4a+4+2b2﹣4b+2＝（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝2，b＝1，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴1＜c＜3，
∵c是正整数，
∴c＝2；
（3）A＞B，理由如下：
∵A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，
A﹣B＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣2a2﹣4a+6＝a2﹣a+2＝（a−12）2+74，
∵（a−12）2≥0，
∴（a−12）2+74＞0，
∴A＞B．
总结提升：本题考查了配方法的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题．
2．（2022秋•和平区校级期末）已知多项式A＝2x2+my﹣12，B＝nx2﹣3y+6．
（1）若（m+2）2+|n﹣3|＝0，化简A﹣B；
（2）若A+B的结果中不含有x2项以及y项，求m+n+mn的值．
思路引领：（1）先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．
（2）先根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含有x2的项和y的项的系数为零，从而可求出m与n的值．
解：（1）A﹣B
＝（2x2+my﹣12）﹣（nx2﹣3y+6）
＝2x2+my﹣12﹣nx2+3y﹣6，
由题意可知：m+2＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣2，n＝3，
∴原式＝2x2﹣2y﹣12﹣3x2+3y﹣6
＝﹣x2+y﹣18．
（2）A+B＝（2x2+my﹣12）+（nx2﹣3y+6）
＝2x2+my﹣12+nx2﹣3y+6
＝（n+2）x2+（m﹣3）y﹣6，
令n+2＝0，m﹣3＝0，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴原式＝3﹣2+3×（﹣2）
＝1﹣6
＝﹣5．
总结提升：本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
3．已知a+b+c＝1，b2+c2﹣4ac+6c+1＝0，求abc的值．
思路引领：由a+b+c＝1，得出a＝1﹣b﹣c，进一步代入b2+c2﹣4ac+6c+1＝0整理得出a、b、c的数值得出答案即可．
解：∵a+b+c＝1，
∴a＝1﹣b﹣c，
∴b2+c2﹣4ac+6c+1
＝b2+c2﹣4（1﹣b﹣c）c+6c+1
＝b2+c2﹣4c+4bc+4c2+6c+1
＝（b+2c）2+（c+1）2＝0，
解得：c＝﹣1，b＝2，
∴a＝1﹣b﹣c＝0，
∴abc＝0．
总结提升：此题考查因式分解的实际运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
类型二 一元二次方程与二次函数的综合
4．（2011•东城区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a：b＝2：3，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数y＝x2+2ax+b2的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D．若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x﹣y的最大值．
思路引领：（1）根据方程有实数根可以得到其根的判别式为非负数，然后再根据a＞0，b＞0作出判断即可；
（2）利用a与b的比值分别设出a和b，利用根与系数的关系用设出的未知数表示出方程的两个解，代入的2x1﹣x2＝2中求得a与b的值即可；
（3）将上题中求得的a与b的值代入到函数中确定函数的解析式，然后求得与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标和顶点坐标，据此可以求出3x﹣y的最大值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0有实数根，
∴△＝（2a）2﹣4b2≥0，
有a2﹣b2≥0，
（a+b）（a﹣b）≥0．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，a﹣b≥0．
∴a≥b．
（2）∵a：b＝2：3，
∴设a=2k，b=3k．
解关于x的一元二次方程x2+4kx+3k2＝0，得x＝﹣k或﹣3k．
当x1＝﹣k，x2＝﹣3k时，由2x1﹣x2＝2得k＝2．
当x1＝﹣3k，x2＝﹣k时，由2x1﹣x2＝2得k=−25（不合题意，舍去）．
∴a=4，b=23．
（3）当a=4，b=23时，
二次函数y＝x2+8x+12与x轴的交点坐标分别为A（﹣6，0）、C（﹣2，0），
与y轴交点坐标为B（0，12），顶点坐标D为（﹣4，﹣4）．
设z＝3x﹣y，则y＝3x﹣z．
画出函数y＝x2+8x+12和y＝3x的图象，若直线y＝3x平行移动时，如图
可以发现当直线经过点C时符合题意，此时最大z的值等于﹣6
总结提升：本题考查了函数综合知识，函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现．解决函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程．
5．（2021秋•沙市区校级期中）已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点．
思路引领：（1）根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）的解的情况；
（2）法1：用十字相乘法来转换y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，即y＝[（m﹣1）x﹣1]（x+1），令y＝0即可确定出抛物线过x轴上的固定点坐标；
法2：函数解析式变形后，根据题意确定出x的值进而得出定点即可．
（1）解：根据题意，得Δ＝（m﹣2）2﹣4×（m﹣1）×（﹣1）＞0，即m2＞0，
解得m＞0或m＜0①，
又∵m﹣1≠0，
∴m≠1②，
由①②，得m＜0，0＜m＜1或m＞1；
（2）法1：证明：由y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，得y＝[（m﹣1）x﹣1]（x+1），
抛物线y＝[（m﹣1）x﹣1]（x+1）与x轴的交点就是方程[（m﹣1）x﹣1]（x+1）＝0的两根，
则x+1=0①(m−1)x−1=0②，
由①得，x＝﹣1，即一元二次方程的一个根是﹣1，
∴无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点（﹣1，0）；
法2：y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝（x2+x）m﹣x2﹣2x﹣1，
∵无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点，
∴x2+x＝0，即x（x+1）＝0，
解得：x＝0或x＝﹣1，
当x＝0时，y＝1，定点为（0，1）；
当x＝﹣1时，y＝0，定点为（﹣1，0），
则无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点．
总结提升：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及根的判别式，在解一元二次方程的根时，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度．
类型三 含参二次函数
6．（2021•邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．
（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；
（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；
（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；
（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
思路引领：（1）将A（﹣1，6）代入y＝ax2﹣4ax+1，列方程求出a的值；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x＝2，可知顶点的纵坐标就是y的最小值﹣1，由此求出抛物线的解析式，再由二次函数的性质求出y的最大值；
（3）由直线与抛物线都经过y轴上的定点（0，1），可知直线与抛物线的两个交点到x轴的距离都为1，由另一个交点的纵坐标为﹣1，求出这个点的坐标并且代入抛物线的解析式即可求出此时a的值；
（4）抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形，这样只考虑x轴下方（或上方）的情况即可，即抛物线G当x等于1时的y值不小于﹣2而小于﹣1，其顶点的纵坐标不小于﹣3而小于﹣2，列不等式组求出a的取值范围．
解：（1）把A（﹣1，6）代入y＝ax2﹣4ax+1，得a+4a+1＝6，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．
（2）∵y＝ax2﹣4ax+1＝a（x﹣2）2﹣4a+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线的顶点的横坐标在1≤x≤5的范围内，
∴抛物线的顶点的纵坐标就是y的最小值﹣1，
∴﹣4a+1＝﹣1，
解得a=12，
∴抛物线的解析式为y=12x2﹣2x+1，
当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y最大=12−2+1=−12；
当2＜x≤5时，y随x的增大而增大，当x＝5时，y最大=252−10+1=72，
∵−12＜72，
∴y的最大值为72．
（3）∵直线y＝﹣x+1及抛物线y＝ax2﹣4ax+1与y轴的交点都是（0，1），
∴直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1的两个交点到x轴的距离都是1，且其中一个交点坐标为（0，1），
∴另一个交点的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1时，由﹣1＝﹣x+1，得x＝2，
∴另一交点坐标为（2，﹣1），
把（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1得4a﹣8a+1＝﹣1，解得a=12．
（4）由题意可知，抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形，
∴该区域内x轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，x轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于x轴对称．
如图，对于抛物线G，当x＝1时，y＝﹣3a+1；当x＝2时，y＝﹣4a+1，
由题意，得−2≤−3a+1＜−1−3≤−4a+1＜−2，
解得34＜a≤1，
∴a的取值范围是34＜a≤1．
总结提升：此题重点考查二次函数的图象与性质、轴对称的特征以及列不等式组求取值范围等知识和方法，解题的关键是数形结合，确定所需要的数量关系，利用函数解析式列方程或不等式组，此题中等难度，是很好的练习题．
7．（2022•河南模拟）已知二次函数y＝（t+1）x2+2（t+2）x+32在x＝0和x＝2时的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；
（3）把二次函数的图象与x轴两个交点之间的部分记为图象G，把图象G向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为M，请结合图象回答：当（2）中得到的直线与图象M有公共点时，求n的取值范围．
思路引领：（1）根据已知条件知，该函数的对称轴方程为x＝1，则−2(t+2)2(t+1)=1，据此易求t的值，把t的值代入函数解析式即可；根据图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标画出图象；
（2）把点A的坐标代入二次函数解析式，利用方程可以求得m的值；然后把点A的坐标代入一次函数解析式，也是利用方程来求k的值；
（3）求出点B、C间的部分图象的解析式是y=−12（x﹣3）（x+1），得出抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=−12（x﹣3+n）（x+1+n），﹣n﹣1≤x≤3﹣n，直线的解析式是y＝4x+6，若两图象有一个交点时，得出方程4x+6+n=−12（x﹣3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，求出判别式Δ＝24n＝0，求出的n的值与已知n＞0相矛盾，得出直线与抛物线有两个公共点，设两个临界的交点为（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0），代入直线的解析式，求出n的值，即可得出答案．
解：（1）∵二次函数y＝（t+1）x2+2（t+2）x+32在x＝0和x＝2时的函数值相等，
∴对称轴x=−2(t+2)2(t+1)=0+22=1，解得，t=−32，
则二次函数的解析式为：y＝（−32+1）x2+2（−32+2）x+32，即y=−12（x+1）（x﹣3）或y=−12（x﹣1）2+2，
（2）∵二次函数的象经过点A（﹣3，m），
∴m=−12（﹣3+1）（﹣3﹣3）＝﹣6．
又∵一次函数y＝kx+6的图象经过点A（﹣3，m），
∴m＝﹣3k+6，即﹣6＝﹣3k+6，
解得，k＝4．
综上所述，m和k的值分别是﹣6、4；
（3）解：由题意可知，图象G的解析式是y=−12x2+x+32=−12（x2﹣2x﹣3）=−12（x﹣3）（x+1），﹣1≤x≤3，
则抛物线平移后得出的图象M的解析式是y=−12（x﹣3+n）（x+1+n），﹣n﹣1≤x≤3﹣n，
此时直线平的解析式是y＝4x+6，
如果直线与平移后的二次函数相切，
则方程4x+6=−12（x﹣3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，
即x2+（2n+6）x+n2﹣6n+9＝0有两个相等的实数解，
判别式Δ＝（2n+6）2﹣4×（n2﹣6n+9）＝48n＝0，
即n＝0，
∵与已知n＞0相矛盾，
∴直线与平移后的抛物线不相切，
∴结合图象可知，如果直线与抛物线有公共点，
则两个临界的交点为（﹣n﹣1，0），（3﹣n，0），
则0＝4（﹣n﹣1）+6，
n=12，
0＝4（3﹣n）+6，
n=92，
即n的取值范围是：12≤n≤92．
总结提升：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征．求得二次函数的解析式时，利用了二次函数图象的对称性质．
8．已知抛物线y＝mx2+（3﹣2m）x+m﹣2（m≠O）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m＝1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′，Q，P三点，画出抛物线草图．
思路引领：（1）与x轴有两个不同的交点即令y＝0，得到的一元二次方程的判别式Δ＞0，据此即可得到不等式求解；
（2）把点（1，1）代入函数解析式判断是否成立即可；
（3）首先求得函数解析式，即可求得定点坐标以及对称轴，则P'的坐标即可求得，然后根据三点即可作出函数图象．
解：（1）△＝（3﹣2m）2﹣4m（m﹣2）＝9﹣4m＞0，
解得：m＜94且m≠0；
（2）当x＝1时，y＝m+3﹣2m+m﹣2＝1，则点P（1，1）在抛物线上；
（3）当m＝1时，抛物线是：y＝x2+x﹣1，
x=−b2a=−12，把x=−12代入y＝x2+x﹣1得y=−54，则Q的坐标是（−12，−54）；
对称轴是直线x=−12，则P'的坐标是（﹣2，1）．
则函数的图象是：
总结提升：本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果Δ＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果Δ＝0，与x轴有一个交点；如果Δ＜0，与x轴无交点．
9．（2020•西青区二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（I）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；
（II）①试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C1，直接写出C1的解析式；
（III）若（II）中抛物线C1的顶点到x轴的距离为2，求a的值．
思路引领：（1）将a＝1代入解析式，把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点和对称轴；
（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；
②根据抛物线翻折理论即可解题；
（3）根据（2）中抛物线C1解析式，分类讨论y＝2或﹣2，即可解题；
解：（1）当a＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴顶点为（2，﹣9），对称轴为x＝2；
（2）①抛物线解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y＝ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）＝0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y＝﹣5；
将抛物线沿y＝﹣5翻折，得到抛物线C1，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C1解析式为：y＝﹣ax2+4ax﹣5，
（3）抛物线C1的顶点到x轴的距离为2，
则x＝2时，y＝2或者﹣2；
当y＝2时，2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a=74；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a=34；
∴a=74或34．
总结提升：本题考查了待定系数法求抛物线解析式的方法，考查了抛物线翻折后对称轴不变的原理，考查了抛物线顶点的求解．
类型四 二次函数与几何综合
10．（2022•东海县一模）如图，已知抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在抛物线y=−12x2+32x+2上，若x1+x2＝1，请证明：y1＞y2；
（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM＝90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．
思路引领：（1）先令x＝0，求得点C的坐标，再令y＝0，求得点A、B的坐标；
（2）分别将x1，x2代入函数解析式求得y1，y2的值，得到y1﹣y2的值，再结合x1+x2＝1化简，得到y1﹣y2的正负，即可得到结果；
（3）先求得直线BC的解析式，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥GN于点H，证明△GCN∽△HNM，设点N的坐标，GN、NH、CG，然后分情况讨论，①△NCM∽△OCB，②△NCM∽△OBC，得到点M的坐标，再将点M的坐标代入直线BC的解析式，求得点N的坐标．
（1）证明：当x＝0时，y＝2，
∴点C（0，2），
当y＝0时，−12x2+32x+2=0，
解得：x＝﹣1或x＝4，
∴点A（﹣1，0），B（4，0）．
（2）证明：由题意得：
y1﹣y2=−12x12+32x1+2﹣（−12x22+32x2+2）=12x22−12x12+32x1−32x2=12（x2+x1）（x2﹣x1）+32（x1﹣x2），
∵x1+x2＝1，
∴y1﹣y2＝x1﹣x2，
又∵x1＞x2，
∴y1＞y2．
（3）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
4k+b=0b=2，解得：k=−12b=2，
∴直线BC的解析式为y=−12x+2，
如图，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥GN于点H，则∠CGN＝∠H＝90°，
∴∠GNC+∠GCN＝90°，
∵∠CNM＝90°，
∴∠GNC+∠HNM＝90°，
∴∠GCN＝∠HNM，
∴△CNG∽△NMH，
∴CNNM=CGNH=NGMH，
设点N的坐标为（n，−12n2+32n+2），则GN＝n，GC=−12n2+32n，
①当△NCM∽△OCB时，NMOB=NCOC，
∵OB＝4，OC＝2，
∴CN：MN＝OC：OB＝1：2，
∴NH＝2CG＝2（−12n2+32n）＝﹣n2+3n，HM＝2NG＝2n，
∴GH＝GN+NH＝n+（﹣n2+3n）＝﹣n2+4n，yM＝GC+CO﹣MH=−12n2+32n+2﹣2n=−12n2−12n+2，
∴点M的坐标为（﹣n2+4n，−12n2−12n+2），
∵点M在直线BC上，
∴−12（﹣n2+4n）+2=−12n2−12n+2，
解得：n＝0（舍去）或n2=32，
∴点N坐标为（32，258）；
②当△NCM∽△OBC时，MNOC=NCOB，
∵OB＝4，OC＝2，
∴CN：MN＝OB：OC＝2：1，
∴NH=12CG=12（−12n2+32n）=−14n2+34n，HM=12GN=12n，
∴GH＝GN+NH＝n+（−14n2+34n）=−14n2+74n，yM＝GC+CO﹣MH=−12n2+32n+2−12n=−12n2+n+2，
∴点M的坐标为（−14n2+74n，−12n2+n+2），
∴−12（−14n2+74n）+2=−12n2+n+2，
解得：n＝0（舍去）或n＝3，
∴点N坐标为（3，2），
综上所述，点N的坐标为（32，258）或（3，2）．
总结提升：本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知二次函数和一次函数图象上点的坐标特征．
11．（2021秋•越秀区校级期中）已知抛物线y＝x2+2ax+a2﹣2（a为常数）．
（1）求证：无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点；
（2）抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，抛物线顶点为点D．
①若x1，x2是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，求a的值；
②点E在抛物线对称轴上，△BDE是等腰三角形，求出点E的纵坐标．
思路引领：（1）令y＝0，则x2+2ax+a2﹣2＝0，由一元二次方程根的判别式得Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣2）＝8＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可证明无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点．
（2）①由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2a，x1x2＝a2﹣2，再由x1，x2是直角三角形两条直角边的长且该直角三角形斜边长为4，得x12+x22＝42，可变形为（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，则有（﹣2a）2﹣2（a2﹣2）＝16，解方程求出符合题意的a值即可；
②设抛物线的对称轴交x轴于点Q，当y＝0时，则x2+2ax+a2﹣2＝0，解关于x的方程得x1＝﹣a−2，x2＝﹣a+2，则AB＝（﹣a+2）﹣（﹣a−2）＝22，则QB=2，根据勾股定理求得BD=6，△BDE是等腰三角形分三种情况，即BD＝BE或BE＝DE或ED＝BD，分别求出相应的点E的纵坐标即可．
（1）证明：y＝x2+2ax+a2﹣2，令y＝0，则x2+2ax+a2﹣2＝0，
∴Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣2）＝4a2﹣4a2+8＝8＞0，
∴无论a取任何实数，一元二次方程x2+2ax+a2﹣2＝0总有两个不相等的实数根，
∴无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点．
（2）解：①∵抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），
∴x1，x2是方程x2+2ax+a2﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝a2﹣2，
∵x1，x2是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，
∴x12+x22＝42，且0＜x1＜x2，﹣2a＞0，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，
∴（﹣2a）2﹣2（a2﹣2）＝16，且a＜0，
解得a1=−6，a2=6（不符合题意，舍去），
∴a的值为−6．
②设抛物线的对称轴交x轴于点Q，
当y＝0时，则x2+2ax+a2﹣2＝0，
解得x1＝﹣a−2，x2＝﹣a+2，
∴A（﹣a−2，0），B（﹣a+2，0），
∴AB＝（﹣a+2）﹣（﹣a−2）＝22，
∴QB=12AB=12×22=2；
∵y＝x2+2ax+a2﹣2＝（x+a）2﹣2，
∴抛物线的顶点D的坐标为（﹣a，﹣2），
∴QD＝2，
如图1，BD＝BE，
∵BQ⊥DE，
∴QE＝QD＝2，
∴E（﹣a，2），
此时点E的纵坐标为2；
如图2，BE＝DE，
∵BE＝DE＝2﹣QE，∠BQE＝90°，
∴QE2+（2）2＝（2﹣QE）2，
解得QE=12，
∴E（﹣a，−12），
此时点E的纵坐标为−12；
如图3，ED＝BD＝或E′D＝BD，
∵BD=22+(2)2=6，
∴DE＝DE′=6，
∴QE=6−2或QE′=6+2，
∴E（﹣a，6−2）或E′（﹣a，−6−2），
此时点E的纵坐标为6−2或点E′的纵坐标为−6−2，
综上所述，点E的纵坐标为2或−12或6−2或−6−2．
总结提升：此题重点考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、勾股定理等知识与方法，解题过程中还应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题综合性较强，属于考试压轴题．
类型五 一次函数与二次函数的综合实际应用
12．（2022•铁西区二模）某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如表：
（1）请根据上述关系，完成表格．
（2）用含有×的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；
（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
思路引领：（1）利用表格中数据，判断出是一次函数关系，设出解析式，进而求出一次函数关系式，整理即可；
（2）利用销售利润＝单价×销售量﹣成本列出函数关系式，利用配方法可求最值；
（3）首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即第二个月必须获得2250元的利润，把函数值2250代入，解一元二次方程即可．
解：（1）设w＝kx+b（k≠0）．
将（70，100），（75，90）代入上式得：
70k+b=10075k+b=90，
解得：
k=−2b=240，
则w＝﹣2x+240，
当x＝85时，w＝﹣2×85+240＝70（千克）．
故答案为：70，w＝﹣2x+240．
（2）y＝（x﹣50）•w＝（x﹣50）•（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000，
因此y与x的关系式为：
y＝﹣2x2+340x﹣12000，
＝﹣2（x﹣85）2+2450，
故当x＝85时，y的值最大为2450．
（3）故第1个月还有3000﹣2450＝550元的投资成本没有收回，
则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y＝2250才可以，
可得方程﹣2（x﹣85）2+2450＝2250，
解这个方程，得x1＝75，x2＝95；
根据题意，x2＝95不合题意应舍去．
答：当销售单价为每千克75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
总结提升：此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值以及二次函数与一元二次方程的关系等知识，注意题目中细节描述得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y＝2250进而求出是解题关键．
类型六 绝对值概念的应用
13．（2021秋•姜堰区期中）【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，求M、N两点之间的距离MN．
小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：
解：因为m＞n，所以有以下情况：
情况1：若m＞0，n＞0，如图①，M、N两点之间的距离MN＝|m|﹣|n|＝m﹣n；
情况2：若m≥0，n＜0，如图②，M、N两点之间的距离MN＝|m|+|n|＝m﹣n；
情况3：若m＜0，n＜0，如图③，M、N两点之间的距离MN＝|n|﹣|m|＝m﹣n．
由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，则M、N两点之间的距离MN＝m﹣n．
【应用】
在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c．
（1）若b＝1，AB＝2，则a＝ ．
（2）若a＝﹣2，b＝4，点C到点A的距离是点C到点B距离的n（n＞0）倍．
①当n=12时，求c的值；
②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围 ．
（3）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，当ab的值最大时，求A、B两点之间的距离AB．
思路引领：（1）分两种情况讨论，即点A在点B的左侧，点A在点B的右侧；
（2）①分两种情况讨论，即点C在线段AB之间，点C在点A的左侧；
②分三种情况讨论，即点C在点A的左侧，点C在线段AB之间，点C在点B的右侧；
（3）根据a+b＝﹣5，ab的值最大，a，b两个数一定都是负数，又因为a、b为整数，所以a，b的值就确定了，即可求出AB．
解：（1）分两种情况：
当点A在点B的右侧，即a＞b时，因为AB＝2，所以a﹣b＝2，a＝b+2＝3，
当点A在点B的左侧，即a＜b时，因为AB＝2，所以b﹣a＝2，a＝b﹣2＝﹣1；
（2）①分两种情况：
当点C在线段AB之间时，CA=12CB，即c﹣a=12（b﹣c），c＝0，
当点C在点A的左侧时，CA=12CB，即a﹣c=12（b﹣c），c＝﹣8，
所以c＝0或﹣8；
②分三种情况：
当点C在点A的左侧时，0＜n＜1，
当点C在点B的右侧时；n＞1，
当点C在线段AB之间时，0＜n＜1或n＞1，
又因为点C的个数始终有两个，n≠1，
所以n＞0且n≠1；
（3）因为a+b＝﹣5，ab的值最大，
所以a＜0，b＜0，
因为a、b为整数，
所以a＝﹣2，b＝﹣3或a＝﹣3，b＝﹣2，
所以AB＝1．
总结提升：本题考查了两点间的距离，数轴，绝对值的意义，在未画图类问题中，正确画图是解决问题的关键，同时本题渗透了分类讨论的思想．销售单价（元/千克）
…
70
75
80
85
…
x
…
月销售量（千克）
…
100
90
80

…

…