湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高一下学期第3次月考数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 ， 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】举反例可判断 ABC；由线面垂直的性质定理可判断 D.
【详解】对于 A，若 ， ，则 ，或 ，故 A 错误；
对于 B，若 ， ，则 ，或 与 相交，故 B 错误；
对于 C，若 ， ，则 与 相交，或 ，或 ，故 C 错误；
对于 D，若 ， ，则 ，故 D 正确.
故选：D.
2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算化简，即可得对应的点为 求解.
【详解】 ，
故对应的点为 ，位于第一象限，
故选：A
3. 已知 且单位向量 在 方向上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的求法即可求解.
【详解】因为 在 方向上的投影向量为 ，所以 ，
因为 ， 为单位向量，所以 ，所以 与 的夹角为 .
故选：C.
4. 如图，矩形 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 的直观图，其中
， ．则平面四边形 的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 10 D. 8
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 如 图 ， 先 将 直 观 图 还 原 得 平 行 四 边 形 ， 根 据 斜 二 测 画 法 可 得
，即可得解；
【详解】将直观图还原得平行四边形 ，如下图，
所以 ，
所以平面四边形 为菱形，
其周长为 .
故选：B.
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5. 若 是 的边 上的一点（不包含端点），且 ，则 的最小值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据共线向量定理的推论得 ，然后利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为 是 的边 上的一点（不包含端点）且 ，
可得 ， ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：C
6. 如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形
的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为 2，“四角反棱台”高为
，则该几何体体积为（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】利用割补法求解几何体体积即可.
【详解】如图，把几何体补全为长方体，则 ， ，
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所以该几何体体积 .
故选：C.
7. 如图，在棱长为 1 的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点.直线
到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果.
【详解】
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
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，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
∴直线 到平面 的距离为点 到平面 的距离.
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，∴ ，
∴点 到平面 距离为 .
故选：D.
8. 已知 与 是平面内两个非零向量， ， ， ，点 P 是 平分线上
的动点.当 取最小值时， 的值为（ ）.
A. . B. . C. . D. .
【答案】B
【解析】
【分析】用 的方向向量坐标表示出 的最小值，从而求出 .
【详解】设点 在原点 .
向量 ，因为 且沿 轴，
向量 ， 且 ，
角平分线的方向向量是 和 的单位向量的和：
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， ，所以角平分线方向向量为 ，
，
所以 方向的单位向量为： ，
设 ，则 ，
.，
，
，
，
这是一个关于 的二次函数.当 ， 最小.
此时 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求、全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 平面 垂直于平面 ，且 ，下列命题正确的是（ ）
A. 平面 内一定存在直线平行于平面
B. 平面 内已知直线必垂直于平面 内无数条直线
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C. 平面 内任一条直线必垂直于平面
D. 过平面 内任意一点作交线 的垂线，则此垂线必垂直于平面
【答案】AB
【解析】
【分析】根据面面垂直、线面垂直、以及线线垂直的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和
选择.
【详解】对 A：因为 面 ，则平面 内只要是平行于 的直线，都平行于平面 ，故 A 正确；
对 B：在平面 内作直线 的垂线 ，则 面 ，则 垂直于平面 的任意直线；
故平面 内已知直线必垂直于直线 ，以及与 平行的无数条直线，故 B 正确；
对 C：平面 内垂直于两平面交线 的直线才垂直于平面 ，故 C 错误；
对 D：过平面 内，且在交线 外的一点作交线 的垂线，则此垂线必垂直于平面 ，故 D 错误；
故选：AB.
10. 在 中，设 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积为 12 B. 外接圆的周长是
C. 若 为 的中点，则中线 长度为 D. 内切圆的面积是
【答案】ABC
【解析】
【分析】应用数量积公式结合余弦定理及面积公式判断 A，应用余弦定理求出 得 ，结合正弦定
理判断 B，根据中线向量公式结合 B 中结果计算 的长后可判断 C，利用等积法求内切圆半径判断 D.
【详解】对于 A， ，解得 ，
故 ，故 边上的高为 ，
故 的面积为 ，故 A 正确，
对于 B，由余弦定理得 ，而 为三角形内角，
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所以 ， 外接圆的周长是 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，
故
，
故 ，故 C 正确；
对于 D， 内切圆的面积是 ，故 ，
故 ，故 D 不正确.
故选：ABC.
11. 如图，多面体容器 ，底面 水平放置， ， ， 所在的平面均与
底面 垂直，且四个三角形均是边长为 2 的等边三角形，下列选项正确的是（ ）.
A.
B. 平面 平面
C. 经过直线 的平面截该几何体，截面的最大面积为
D. 从上面 往该容器注水，当水面是正多边形时（未注满），注入的水的容积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 分别取线段 的中点 ，证明四边形 为平行四边形即可；B 利用反证法；C
分截面为 或 和平面 与平面 或平面 相交两类来讨论即可；D 先利用相似得出正
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六边形的边长，再将体积分为三个棱锥和一个六棱柱的体积.
【详解】对于 A，分别取线段 的中点 ，连接 ，
因 为边长为 的等边三角形，则 ， ，
因平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
同理可得 平面 ， ，则 ， ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
又因 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，若平面 平面 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ，则可得 平面 ，
又显然 不垂直于平面 ，故假设错误，故 B 错误；
对于 C，设过直线 的平面为 ，平面 与多面体 的表面交线为 ，
则平面 由平面 到平面 的转动过程中，截面的可能性有：
若截面为 或 ，则截面面积为 ；
若平面 与平面 或平面 相交，
由 A 选项可知， ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，则 ，则 ，
由于对称性可知，此时截面为等腰梯形，显然当 与 重合时截面面积最大，
因等腰梯形 的上底 ，下底 ，腰 ，
则等腰梯形 的面积为 ，故此时截面面积的最大值为 ；
因 ，故 C 选项正确；
对于 D，由 A 选项可知， ，又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
同理可得 平面 ，又 ， 平面 ，
则平面 平面 ，
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欲使水面 是正多边形，结合对称性可知，
只需 ， ， 即可，
因 ，则 ，则 ，
则 ，则 ，
则 ，
又因 平面 ，且 ，则多面体 的高为 ，
过点 分别作 ，则四边形 是面积为 的矩形，
由 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，
过点 作 ，又平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，则 为四棱锥 的高，
又等边 的边长为 ，则 ，
则四棱锥 的体积为 ，
因多面体 去掉三个体积相等的四棱锥后，剩余的部分为直六棱柱，
则该部分体积为 ，
故多面体 的体积为 ，故 D 正确.
故选：ACD
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若复数 z 满足 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数 除法可求得 ，结合模长公式运算求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
13. 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，且 ，则
的面积最大值是_________．
【答案】 ;
【解析】
【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得 最大值，即可求解.
【详解】由题意得 ，
因 ，故 ，
由 ，结合基本不等式： ，
得 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ．
故答案为：
14. 在 中， ， ， ，P 为边 AB 上的动点，沿 CP 将 折起形成直
二面角 ，当 最短时，此时三棱锥 的体积为______ ．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】作 于点 ，连接 ，结合余弦定理表示出 ，即可得到当 最短时 的
度数，再结合锥体的体积公式即可得到结果.
【详解】作 于点 ，连接 ，设 ，则 ，
所以 ，在 中，由余弦定理可得，
，
因为 为直二面角，所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ， ，且 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
则 ，
当 最短时， ，所以 ，
即此时 为 的角平分线， ，
且由角平分线定理可得， ，即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， 的面积为 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理、三角形的面积公式可化简得出 的值，结合角 的取值范围可得出角 的
值；
（2）由（1）可得出 的值，结合正弦定理可求得 的知，结合已知条件求出 的值，由此可求出
的周长.
【小问 1 详解】
由余弦定理可得 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ，
因为 ，故 .
【小问 2 详解】
由正弦定理 可得 ，
由（1）可得 ，可得 ，
所以， ，则 ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
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因此， 的周长为 .
16. 如图所示，正四棱锥 ， ，底面边长 ，M 为侧棱 PA 上的点，且
．
（1）求正四棱锥 的体积；
（2）若 为 的中点，证明： 平面 ；
（3）侧棱 上是否存在一点 E，使 平面 ，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据体积公式可求几何体的体积；
（2）连 ，交 于 ，可证 ，故可证 平面 ；
（3）存在， ，此时作 中点 ，连结 ， ， ，可证平面 平面 ，故可得
平面 .
【小问 1 详解】
连接 ，设 ，连接 ，则 平面 ．
中， ， ， ，
所以 ．
【小问 2 详解】
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由正方形 可得 为 的中点，而 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
【小问 3 详解】
存在， ．理由如下：作 中点 ，连结 ， ， ．
， ，
又 平面 MBD， 平面 ，
平面 ，
， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 ，而 平面 ，
平面 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ， 分别是 ，
， 的中点.
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的正切值为 ，且 ， ，求 与平面 所成角的正
弦值.
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，结合 ，可得 平面 ；
（2）由题意可得 与平面 所成角即为 与平面 所成角，过 作 于 ，连接
，可得 ，可求得 ，利用等体积法可求得 到平面 的距离，可得 与
平面 所成角的正弦值.
【小问 1 详解】
因为 ，又 是 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又底面 是矩形，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
连接 ，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ， ，
又 是 的中点，底面 是矩形，所以 ， ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 与平面 所成角即为 与平面 所成角，
因为又 平面 ， 平面 ，所以 ，
过 作 于 ，连接 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，所以 ，所以 ，
由 ，可得 ，所以 ，
设 到平面 的距离为 ，
由 ，所以 ，
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又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 如图，在三棱锥 中， 底面 ，平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ， 是 的中点， 、 分别在线段 、 上移动.
①求 与平面 所成角的正切值；
②若 平面 ，求线段 长度取最小值时二面角 平面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ②
【解析】
【分析】（1）过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，利用面面垂直的性质可得出 平面
，推导出 ，利用线面垂直的判定定理可得出 平面 ，再利用线面垂直的性质可
证得结论成立；
（2）①由（1）知 为 与平面 所成角，计算出 的长，即可求出 的正切值，即为
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所求；
②过 在平面 内作 的垂线，垂足为 ，过 作 ，交 于点 ，推导出 平面
，设 ，求出 ，利用勾股定理可得出 关于 的表达式，结合二次函数的基本性质可求
出 取最小值时对应的 的值，求出 、 的值，利用二面角的定义可知二面角 的平面
角为 ，求出其正切值即可.
小问 1 详解】
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， ，因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）得 平面 ，
所以 为 在平面 的射影， 为 与平面 所成角，
在 中， ，
在直角 中， ，
所以 与平面 所成角的正切值为 .
②过 在平面 内作 的垂线，垂足为 ，过 作 ，交 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以 ，
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因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
设 ， ，且 ，则 ，所以， ，
所以 ， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
因为 为 的中点，则 ，所以， ，
所以， ，
所以， ，
在直角 中， ，其中 ，
因为二次函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，故二面角 的平面角为 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 为 的中点，所以 ， ，
，故二面角 的正切值为 .
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19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点 P 处的离散
曲率为 ，其中 为多
面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面
体 M 的所有以 P 为公共点的面．已知三棱锥 如图所示．
（1）求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若 平面 ABC， ， ，三棱锥 在顶点 C 处的离散曲率为 ，求
点 A 到平面 PBC 的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点 Q 在棱 PB 上，直线 CQ 与平面 ABC 所成角的余弦值为 ，求 BQ 的长
度．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据所给的定义，表示 ，再相加，即可求解；
（2）先根据题设中垂直关系结合点 C 处的离散曲率求得 、 ，然后过点 A 作 于点
，利用线面垂直的判定定理得 平面 ，即可求解点面距离；
（3）过点 作 交 于 ，连结 ，得 为直线 与平面 所成的角，设
，表示出 ，再利用余弦定理求 ，再由余弦值，转化为正切值，得到关
于 的等式求解即可得答案.
【小问 1 详解】
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根据离散曲率的定义得 ，
，
，
又因为
，
所以 ．
【小问 2 详解】
∵ 平面 平面 ，∴ ，
又∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，即
∴ ，∴ ，过点 A 作 于点 ，
由 平面 平面 ，得 ，
又 平面 ，则 平面 ，
因此点 A 到平面 PBC 的距离为线段 的长，在 中， ，
∴点 到平面 距离为 .
【小问 3 详解】
过点 作 交 于 ，连结 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，
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∴ 为直线 与平面 所成的角，
依题意可得， ，
，
， ，
设 ，则 ，
在 中，
，
又 ，所以 ，
则 ，
∴ ，解得： 或 （舍）
故 .
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