湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高一下学期第1次月考数学试卷

这是一份湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高一下学期第1次月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知平面向量满足，，且，则， 已知向量，则等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一､单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出集合，再根据并集的定义即可得解.
【详解】由题意得，，
所以．
故选：D．
2. 一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解.
【详解】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为，
因为，所以，由题有，解得，
故选：B.
3. 设关于x的方程有实数解，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先结合辅助角公式及正弦函数性质求出对应的范围，然后结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】因为，所以，即.
因为，
所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要条件．
故选：A.
4. 若向量，且A，C，D三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，再由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由三点共线，得，
又，得，解得.
故选：B
5. 如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可；
【详解】
.
故选：C
6. 已知平面向量满足，，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果.
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，
，又，
所以.
故选：C.
7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 为偶函数B.
C. 当时，在上恰有2个零点D. 若在上单调递减，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象平移规律以及，得，，，再根据偶函数的定义可得A正确；计算可得B正确；当时，求出在上的零点，可得C不正确；根据余弦函数的单调递减区间可得D正确.
【详解】依题意得，
由已知得，所以，，
所以，，，，
对于A，，且的定义域关于原点对称，所以为偶函数，故A正确；
对于B ，，，故B正确；
对于C，当时，，，由，得，得，，，
因为，所以或或，则在上恰有3个零点，故C不正确；
对于D，由，，得，，
所以，，所以，所以，故D正确
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据三角函数图象平移规律以及三角函数的性质求解是解题关键.
8. 已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用正弦定理进行边角互化，再由余弦定理求出角，再把变形然后平方，转化成边的关系，再利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可知，因为，所以.
因为，所以，
将上式两边平方可得，
即
，
当且仅当，即时等号成立，
所以线段长度的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题有两个关键点：
关键一：把变形为然后再平方，转化成边的关系；
关键二： 把转化成.
二､多选题
9. 已知向量，则（ ）
A. B. 向量的夹角为
C. D. 在上的投影向量是
【答案】BD
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示计算即可求出判断A；由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解判断B；由向量模长公式即可计算求解判断C；由投影向量公式计算即可求解判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，故A错误；
对于B，由A可得，
又，故，即向量的夹角为.故B正确；
对于C，，所以，故C错误；
对于D，在上的投影向量是，故D正确.
故选：BD.
10. （多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的周长为D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理化角为边即可判断A；利用同角三角函数的关系即可判断B；利用余弦定理求出，即可判断C；根据三角形的面积公式即可判断D.
【详解】对于A，因为，
由正弦定理得，整理得，即，A正确；
对于B，由可得，
则，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
又，可得，
整理得的周长为，故C错误；
对于D，由上知：，，可得，
则的面积为，故D正确．
故选：ABD.
11. 边长为1的正三角形的内心为，过的直线与边交于，则（ ）
A. B. 当时，此时
C. 的最大值为18D. 的最小值为15
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：设，，根据三点共线结合向量分析判断；对于B：根据题意求，即可得结果；对于CD：设，利用正弦定理可得，，代入整理可得，即可判断最值.
【详解】连接AO并延长，交BC于D，则D是BC的中点，
设，，，，可知，
则，，
可得，，
因为P，O，Q三点共线，则，且，
可得，则，即，
可得，即，
所以，故A错误；
对于选项B：当时，可知为中位线，
则，所以，故B正确；
对于选项CD：设，则．
在中，，，，
由正弦定理得：，
即，可得，
在中，，
由正弦定理得：，
即，可得
则，
因为，则，可得，
当时，取到最大值18，故C正确；
当或时，取到最小值15，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：对于图形中的范围问题，常常利用正、余弦定理进行边角转化，结合三角函数相关知识求最值.
三､填空题
12. 若函数最小正周期为，则的值是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据正切函数的最小正周期求出，再计算即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，
故，所以，
故答案为：.
13. 在中，若，则角等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合已知可得，再利用余弦定理即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，
则，所以，
所以，
又，所以.
故答案为：.
14. 设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，有下列命题：
（1）关于的方程可能有两个不同的实数解；
（2）关于的方程至少有一个实数解；
（3）关于的方程最多有一个实数解；
（4）关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线；
上述命题正确的序号是__________
【答案】（3）（4）
【解析】
【分析】关于的方程，对，以作为一组基底表示平面内的向量，利用平面向量基本定理讨论解的个数．
【详解】是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，，以作为一组基底，
则任意向量存在唯一的有序数对使，
关于的方程，即，即，
与一一对应，所以不可能两个实数解，故命题（1）错误；
若，无解，故命题（2）错误；
当时，方程有解，结合（1），方程最多一个解所以（3）正确；
根据平面向量共线定理，平面内有三个不同点共线，O为坐标原点，必存在实数使：，
即，
整理得：，
即三个向量的终点共线，，必有，与矛盾，所以三个向量终点不可能共线，故（4）正确.
故答案为：（3）（4）
【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，关键在于理清以作为一组基底，则任意向量存在唯一的有序数对使.
四､解答题
15. （1）已知，化简；
（2）化简：；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用向量线性运算化简即可.
【详解】（1）；
（1）原式；
16. 已知.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）设的内角所对的边分别为，若且.求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的对称中心性质进行求解即可；
（2）根据特殊角的正弦函数值，结合正弦定理、正弦型函数的最值性质、辅助角公式进行求解即可.
【小问1详解】
，
令，
因此函数图象的对称中心为；
【小问2详解】
由，
由，因此有，
由正弦定理可知：，
因此有
，
因为，所以
，
因此周长的取值范围为.
17. 如图，在中，，为的中点，与交于点设，.
（1）求
（2）试用表示；
（3）求.
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线性运算用表示，，再结合数量积的运算律运算求解；
（2）由题意可设：，根据三点共线分析可得，进而可得结果；
（3）根据数量积的运算律可得，进而可得结果.
【小问1详解】
由题意可得：，，
又因为，可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
由题意可设：，
由于，，三点共线，则，解得，
可得，
所以.
【小问3详解】
由题意可得：，
且，
，
所以.
18. 如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：

（1）刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
（3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
【答案】（1）
（2）走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上
（3）小时
【解析】
【分析】（1）在中根据正弦定理可得结果；
（2）在中根据余弦定理可得结果；
（3）在中由余弦定理可得结果.
【小问1详解】
由在的南偏东，在的东北偏方向，在中，
，由正弦定理得，
，
代入上式得：海里．
答：走私船与观测点的距离为海里；
小问2详解】
在中，海里，海里，，
．
，
，解得海里，
又，
且，所以，
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上．
【小问3详解】
设小时后缉私艇在处追上走私船，则，
又，，
在中，由余弦定理得，
，化简得
解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船．

19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
（1）已知向量满足，求的值；
（2）①若，用坐标表示；
②在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
（3）已知向量，求的最小值．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）借助新定义计算即可得；
（2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据计算即可得；
（3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
【小问2详解】
①设，则，
所以，
，
所以，
②，
所以；
【小问3详解】
由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是9．
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到.