【2025上海高中数学】2025年上海市华二附中高一下学期5月月考数学试卷与答案

这是一份【2025上海高中数学】2025年上海市华二附中高一下学期5月月考数学试卷与答案，共8页。试卷主要包含了05，复数的虚部是______等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1.复数的虚部是______.
2.数列1、2、3、4和数列1、3、2、4______（是/不是）同一数列
3.已知角的终边经过点，则______.
4.已知数列是严格增数列且（n为正整数），则实数k的取值范围为______.
5.复数______.
6.满足，的角x的集合为______.
7.将函数的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为______.
8.数列中，（n为正整数），且，则的值为______.
9.塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为______.
10.设点O在内部，且，则______.
11.已知复数、在复平面上对应的点分别为A、B，且，，O为坐标原点，则的周长为______.
12.给定平面向量、、，已知对任意实数x、y，都有，成立.若，则的取值范围是______.
二、单选题
13.已知，，则的值为（）
A.B.C.D.
14.下列四个选项中，正确的是（）
A.复平面内实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
B.若复数、满足，则且
C.若复数、满足，则
D.设为复数，，若，则
15.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
A.重心B.垂心C.外心D.内心
16.令M表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应，且对任意向量、和任意实数、都有，则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（）
A.N中至少有两个元素B.N中至少有无数个元素
C.N中至多有三个元素D.N中至多有无数个元素
三、解答题
17.已知，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.
（1）求角B；
（2）若D为AC的中点，且，，求△ABC的面积.
19.已知△ABC中，，，，点D在边BC上且满足.
（1）用，表示，并求；
（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.
20.已知复数、满足，，且存在非零实数a，使得，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围；
（3）设，且，求的取值范围.
21.复分析中的几何变换不仅是研究解析函数性质的核心工具，更深刻揭示了复平面上的几何对称性与不变性.此类变换能够将复杂的曲线映射成其他简单几何图形，同时保持对称性、角度关系等关键性质.这种“共形”在电磁学、流体力学等领域有着广泛应用.在复平面上，几何变换可通过复数运算实现.
定义1：任意给定，，称是（对复数z的）线性变换；
定义2：称是（对非零复数z的）乘法逆变换；
定义3：给定和非零实数R，如果满足，那么称和在复平面上关于集合对称.
（1）设线性变换，，请说明复数集U在复平面对应的图像的几何形状，并求，的最小值；
（2）设为乘法逆变换，请说明复数集在复平面对应的图像的几何形状，并求的最小值，其中；
（3）给定，若在复平面上关于集合对称，是否存在和，使得和在复平面上关于集合对称，其中为乘法逆变换.
参考答案
一、填空题
1.2.不是3.4.5.6.
7.48.k9.10.11.12.
二、选择题
13.C14.D15.A16.C
三、解答题
17.（1）（2）
18.（1）（2）
19.（1），（2），夹角余弦值为
20.（1），是一元二次方程的两根，因为，所以和要么同时为实数，要么同时为虚数.
由于此时为虚数，那么也为虚数，因此，即.
注意到，则，因此.
（2）由于此时为实数，又，，
所以方程在区间上有两实根，
设
所以二次函数与x轴在区间上有两交点（可重合），
故，解得.
（3）因为，所以由第（1）问可知和均为虚数，又，
故
由此可知，则.
注意到和互为共轭复数，所以，因此
因为，且，所以
注意到，则,
故.
21.（1）设，，由得.
因此复数集U在复平面对应直线.令，
注意到,
因此,，,
由此可知.
代入得，,
故.
（2）令，则由得,
即,
因此.
设，则上式等价于,
说明复数集在复平面对应的几何形状为圆，圆心为，半径为.
任取，设，，则,
即复数集在复平面对应的几何形状为圆，圆心为，半径为.
两圆相离，因此
（3）若，令，则,
即,
由此可知,
等价于,
变形可得,
因此.
复数集在乘法逆变换的映射下在复平面图像是以为圆心，为半径的圆.
下证满足题意.
此时证明和在复平面上关于集合
对称等价于证明
,
等价于.
注意到，因此上式又等价于
,
即.
由条件和定义可知，此时在复平面上关于集合
对称，故上式显然成立.因此结论对
成立.