专题9.1 轴对称【十一大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版2024）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc203" 【题型1 垂直平分线】 PAGEREF _Tc203 \h 1
\l "_Tc8170" 【题型2 识别轴对称图形】 PAGEREF _Tc8170 \h 3
\l "_Tc6726" 【题型3 确定对称轴的条数】 PAGEREF _Tc6726 \h 4
\l "_Tc1719" 【题型4 由轴对称图形的特征进行判断】 PAGEREF _Tc1719 \h 4
\l "_Tc18118" 【题型5 由轴对称图形的特征进行求解】 PAGEREF _Tc18118 \h 5
\l "_Tc28328" 【题型6 折叠问题】 PAGEREF _Tc28328 \h 6
\l "_Tc5701" 【题型7 镜面对称】 PAGEREF _Tc5701 \h 8
\l "_Tc31573" 【题型8 画轴对称图形】 PAGEREF _Tc31573 \h 8
\l "_Tc19294" 【题型9 台球桌上的轴对称】 PAGEREF _Tc19294 \h 10
\l "_Tc25801" 【题型10 添加图形使成为轴对称图形】 PAGEREF _Tc25801 \h 11
\l "_Tc9825" 【题型11 设计轴对称图案】 PAGEREF _Tc9825 \h 12
知识点1：垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
【题型1 垂直平分线】
【例1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为 ．
【变式1-1】（24-25八年级·辽宁大连·期末）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
【变式1-2】（24-25八年级·广东清远·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE=6，EC=3，则BC的长 ．
【变式1-3】（24-25八年级·广东广州·期末）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12B．6C．7D．8
知识点2：轴对称
（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称
轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
【题型2 识别轴对称图形】
【例2】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25八年级·广东广州·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．直角梯形C．正五边形D．直角三角形
【变式2-2】（24-25八年级·吉林四平·期末）下列三角形中，不是轴对称图形的是( )
A．有两个角相等的三角形
B．有两个角分别是120°和30°的三角形
C．有一个角是45°的直角三角形
D．有一个角是60°的直角三角形
【变式2-3】（24-25八年级·重庆南岸·期末）图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A,B,C均在格点上．请在给定的网格中，找一格点D，使以点A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 个．

知识点3：轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【题型3 确定对称轴的条数】
【例3】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ．
【变式3-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（24-25八年级·黑龙江大庆·期中）要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（ ）种画法
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25八年级·河北廊坊·期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
【题型4 由轴对称图形的特征进行判断】
【例4】（24-25八年级·全国·课后作业）如图，正六边形ABCDEF关于直线l成轴对称的图形是正六边形A′B′C′D′E′F′，有下列说法：①AB=A′B′；②BC∥B′C′；③直线l⊥BB′；④∠A′B′C′=120°．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．

【变式4-1】（24-25八年级·全国·课后作业）下列说法正确的是( )
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若ΔABC与ΔDEF成轴对称，则△ABC≌ΔDEF
D．点A，点B在直线L两旁，且AB与直线L交于点O,若AO=BO,则点A与点B关于直线L对称
【变式4-2】（24-25八年级·全国·假期作业）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点（A，P，A'不共线），下列结论中不正确的是( )
A．AP=A'PB．MN垂直平分线段AA'
C．△ABC与△A'B'C'面积相等D．直线AB，A'B'的交点不一定在直线MN上
【变式4-3】（24-25八年级·全国·课后作业）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等B．各对应点的连线互相平行
C．对应点连线被翻移线平分D．对应点连线与翻移线垂直
【题型5 由轴对称图形的特征进行求解】
【例5】（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式5-1】（24-25八年级·浙江杭州·开学考试）如图所示的2×2方格中，连接AB，AC，AD，则∠A+∠B+∠C的和（ ）．

A．必是直角B．必是锐角C．必是钝角D．是锐角或钝角
【变式5-2】（24-25八年级·全国·假期作业）如图，O为△ABC内部一点，OB=72，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点．
(1)请指出当∠ABC是什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承（1）小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【变式5-3】（24-25八年级·山东聊城·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2．若OP=3.5，则点P1，P2之间的距离可能是（ ）

A．0B．5C．7D．9
【题型6 折叠问题】
【例6】（24-25八年级·北京·期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（24-25八年级·浙江温州·期末）如图，点E为长方形纸片ABCD的边BC上一点，将长方形纸片分别沿AE，EF折叠，使点B，C分别与点G，H重合，点E，G，H恰好在同一条直线上．若∠AEH=3∠HEF，则∠AEH−∠HEF的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【变式6-2】（24-25八年级·云南昆明·开学考试）一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米.
【变式6-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）将如图（1）所示的长方形纸片ABCD按如下步骤操作：（1）如图（2），以过点A的直线为对称轴折叠纸片，使点B恰好落在边AD上的点B′处，折痕与BC交于点E；（2）如图（3），以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点A恰好落在边EC上的点A′处，折痕交边AD于点F；（3）将纸片展平．那么∠AFE的度数为 ．

【题型7 镜面对称】
【例7】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】（24-25八年级·河南许昌·期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词 APPLE在镜子中呈现的样子（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（24-25八年级·福建龙岩·阶段练习）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ．
【题型8 画轴对称图形】
【例8】（24-25八年级·山东枣庄·期末）如图，△ABC的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把△ABC称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与△ABC成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴．
【变式8-1】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABE的顶点都在小正方形的顶点上，
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于AE所在直线对称，点F与点B是对称点；
(2)求四边形ABEF的面积．
【变式8-2】（24-25八年级·山东济南·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A′B′C′；
(2)△A′B′C′的面积是
(3)在直线DE上找出点P，使PA−PC最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）
【变式8-3】（24-25八年级·全国·假期作业）如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1−图4不重复）．
【题型9 台球桌上的轴对称】
【例9】（24-25八年级·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
【变式9-1】（24-25八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( )
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式9-2】（24-25八年级·全国·课堂例题）如图所示，长方形ABCD是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边AB反弹后击中黑球N？
【变式9-3】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【题型10 添加图形使成为轴对称图形】
【例10】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种．
A．6B．5C．4D．3
【变式10-1】（24-25八年级·河南安阳·期末）（1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴；
【变式10-2】（24-25八年级·山东聊城·期中）乐乐觉得轴对称图形很有意思，如图是4个完全相同的小正方形组成的L形图，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使添画后的图形成为轴对称图形．
【变式10-3】（24-25八年级·江苏无锡·期中）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
【题型11 设计轴对称图案】
【例11】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形.并画出它的一条对称轴(如图例.画对一个得1分)

【变式11-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的两幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．
【变式11-2】（24-25八年级·甘肃平凉·期末）如图所示，
(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
(2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合）
【变式11-3】（2024·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．

（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．