2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市松山区高二下学期5月期中学业质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市松山区高二下学期5月期中学业质量检测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=x2在区间x0,x0+Δx上的平均变化率为k1，在x0−Δx,x0上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A. k1=k2B. k1k2D. k1与k2的大小关系不确定
2.已知某质点的运动方程为S=2t2−t，其中S的单位是m，t的单位是s，则S′(4)为( )
A. 13m/sB. 15m/sC. 17m/sD. 19m/s
3.曲线f(x)=2x3−sinx在点0,f(0)处的切线方程为( )
A. y=−xB. y=−2xC. y=−12xD. y=−13x
4.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字5，6，8(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有5，6，8这三个数字，则不同的填法有( )
A. 12种B. 24种C. 72种D. 216种
5.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. x=a是函数y=f(x)的极小值点
B. 当x=−a或x=b时，函数f(x)的值为0
C. 函数y=f(x)在(a,+∞)上是增函数
D. 函数y=f(x)在(b,+∞)上是增函数
6.在(1+x)+(1+x)2+⋅⋅⋅+(1+x)6的展开式中，x2的系数为( )
A. 19B. 33C. 35D. 70
7.中国空间站(Cℎina Space Statin)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，成功将中国空间站建设完毕.如果空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，三舱中每舱至少有1人且甲、乙不在同一个舱，则不同的安排方法有( )
A. 36种B. 30种C. 33种D. 66种
8.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有f(−x)f(x)=e2x，当x0，若eaf(2a+1)≥f(a+1)，则实数a的取值范围是( )
A. 0,23B. −23,0C. [0,+∞)D. (−∞,0]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是组合问题的是( )
A. 10人相互通一次电话，共通多少次电话？
B. 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？
C. 从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D. 从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
10.设点P是曲线y=ex− 3x+23上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些( )
A. 2π3,πB. π2,5π6C. 0,π2D. 0,π2∪5π6,π
11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+ca,b,c∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若函数f(x)的图像关于点(1,f(1))中心对称，则a=−3
B. 当c=0时，函数f(x)过原点的切线有且仅有两条
C. 函数f(x)在[−1,1]上单调递减的充要条件是2a−b≥3
D. 若实数x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且满足x1+x2=x1x2，则a>0或a< −6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断，在开区间(a,b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)成立，其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=lnx在1,e上的“拉格朗日中值点”为 ．
13.在二项式 x+124xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，则n= ．
14.若函数f(x)，g(x)满足f(x)+xg(x)=x2−1，且f(1)=1，则f′(1)+g′(1)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在(1−x)(1+x)4的展开式中，含x2项的系数是b．
(1)求b的值；
(2)若(2−bx)7=a0+a1x+⋯+a7x7，求a0+a2+a4+a63+a1+a3+a5+a73的值．
16.(本小题15分)
赤峰市某5A级景区为满足游客绿色出行需求，在该景区停车场建成了集中式智慧有序充电站，充电站共建设168个充电桩，其中包括90个新型交流有序充电桩、75个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电，
(1)求有多少种不同的充电方案；
(2)若要求A、B两车不能同时在上午充电，而C车只能在下午充电，且F车不能在甲充电桩充电，求有多少种不同的充电方案．(用数字作答)
17.(本小题15分)
如图，将一根直径为3的圆木锯成截面为矩形的梁．矩形的高为ℎ，宽为b.已知梁的抗弯强度为W=16bℎ2．
(1)将W表示为b的函数，并写出定义域；
(2)求b的值使得抗弯强度最大．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=12ae2x+(a−2)ex−2x．(a∈R)
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a∈e2,+∞,f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R)．
(1)若x=1是f(x)的极值点，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若函数f(x)在1,e2上有且仅有2个零点，求a的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.D
6.C
7.B
8.B
9.ABC
10.CD
11.ACD
12.e−1/−1+e
13.8
14.3
15.解：(1)由(1−x)(1+x)4=(1+x)4−x(1+x)4，
可得在(1−x)(1+x)4的展开式中含x2的项是由
(1+x)4的展开式中含x2项与−x(1+x)4的展开式中含x2项合并得到的，
则b=C42−C41=2
(2)由(1)得，(2−2x)7=a0+a1x+⋯+a7x7，
令x=1，则(2−2)7=a0+a1+⋯+a7=0
令x=−1，则(2+2)7=a0−a1+⋯−a7=47
则a0+a2+a4+a6=12×47，a1+a3+a5+a7=−12×47
则a0+a2+a4+a63+a1+a3+a5+a73=12×473+−12×473=0．

16.解：(1)先从A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴车中选出三辆车安排在上午充电，有C63A33=120，
余下的三辆车安排在下午充电，A33=6，
∴共有120×6=720种方案．
(2)先排F车，第一种方案，F车在上午充电，有C21种可能，
此时再排C，C车在下午充电，有C31种可能，
再排A、B，又分A、B同在下午和一个上午一个下午两种情况，有A22+C21C21C21可能，
第二种方案，F车在下午充电，有C21种可能，
此时再排C，C车在下午充电，有C21种可能，
再排A、B，只能一个上午一个下午，有C21C31可能，
最后再排剩下的两辆车，有A22种可能，
最后共有：C21C31A22+C21C21C21+C21C21C21C31A22=(2×3×10)+24×2=84×2=168种方案．

17.解：(1)由勾股定理可得b2+ℎ2=9，则ℎ2=9−b2，
所以，W=16bℎ2=16b9−b2=32b−16b3，其中00时，函数f(x)在区间−∞,ln2−lna上单调递减，在区间ln2−lna,+∞上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，
当a>0时，函数f(x)在−∞,ln2−lna上单调递减，在ln2−lna,+∞上单调递增．
(2)由(Ⅰ)知，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，此时无极值，
当a>0时，函数f(x)的极小值为：
fln2−lna=12ae2ln2−lna+(a−2)eln2−lna−2ln2−lna
∴g(a)=fln2−lna=2−2a−2ln2+2lna，a∈e2,+∞
由于y=−2a,y=2lna均为a∈e2,+∞单调递增，故g(a)在e2,+∞上递增
∴g(a)的最小值为ge2=6−2e2−ln4．

19.解：(1)因为f′(x)=1x−a=1−axx
则f′(1)=0，即1−a=0，所以a=1，经检验符合题意
(2)∵f(x)=lnx−ax(a∈R)，则f′(x)=1x−a=1−axx．
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，由f′(x)=0，得x=1a，
若01a，则f′(x)0时，f(x)的单调递增区间为0,1a，单调递减区间为1a,+∞．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的增区间为(0,+∞)；
当a>0时，函数f(x)的增区间为0,1a，减区间为1a,+∞．
(3)当x∈1,e2时，由f(x)=0可得a=lnxx，令g(x)=lnxx，其中x∈1,e2，
则直线y=a与函数g(x)在1,e2上的图像有两个交点，
g′(x)=1−lnxx2，当1