湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 与直线 间的距离为
A. B. C. D. 1
2.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，
如数列 1，2，4，7，11 从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列 1，2，3，4 为等差数列，则称数
列 1，2，4，7，11 为二阶等差数列．现有二阶等差数列 ，其中前几项分别为 5，8，13，20，记该数列
从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列 ，则
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
3.已知函数 ，当 时， 有极大值，则
A. B. C. 0 D. 或 1
4.若 展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中含 项的系数为
A. B. C. 40 D. 80
5.给图中五个区域染色，有 4 种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染
色方法有
A. 216 种 B. 192 种 C. 180 种 D. 168 种
6.如图，在四面体 ABCD 中， 与 为等边三角形，且 ，E，F 分别为棱 AD，AB 的
中点，则异面直线 BE，CF 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
第 1 页，共 1 页
7.设 O 为坐标原点，直线 l： 与抛物线 C： 交于 M，N 两点，与 C 的准线交于点 若
，F 为 C 的焦点，则 与 的面积之比为
A. B. C. D.
8.函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.已知双曲线 ： 和 ： ，其中 ， ，且 ，则
A. 与 虚轴长相等 B. 与 焦距相等
C. 与 离心率相等 D. 与 渐近线相同
10.在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知过点 且一个法向量为 的平面 的方程为
；过点 且一个方向向量为
的直线 l 的方程为 根据上述材料，解决以下问题：已知平面 的方程为
，直线 l 是平面 与 的交线，则下列说法正确的
是
A. 直线 l 经过点
B. 直线 l 的一个方向向量为
C. 直线 l 与平面 所成角的余弦值为
D. 若点 ，则点 N 到平面 距离为
11.已知函数 ，其中实数 ， R，则下列结论正确的是
A. 当 时， 必有两个极值点
B. 过点 可以作曲线 的 3 条不同切线，则
C. 若 有三个不同的零点 ， ， ，且 ， ， 成等差数列，则
D. 若 有三个不同的零点 ， ， ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知多项式 … ，则 ________.
第 1 页，共 1 页
13.已知过点 的直线 l 被圆 截得的弦长为 ，则直线 l 的方程为________.
14.已知数列 满足 ， ，设 ，设
，则整数 ________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
已知等比数列 的各项均为正数，首项 ， 为其前 n 项和，且
求数列 的通项公式；
， ，求数列 的前 n 项和
16. 本小题 15 分
已知函数
若 ，求函数 在点 处的切线方程；
若函数 在区间 内有极值点，求 m 的取值范围．
17. 本小题 15 分
如图，D 是以 AB 为直径的半圆上的动点，已知 ，且 ，平面 平面
求证： ；
当三棱锥 的体积取得最大值时，在线段 AC 上是否存在一点 E，使得平面 BED 与平面 AEB 夹
角的余弦值等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18. 本小题 17 分
已知椭圆 C： 的上、下焦点分别为 ， ， ，顶点在原点的抛物线 E
的焦点与椭圆的上焦点相同，过点 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，与抛物线交于 M，N 两点，当直线 l
垂直于 时，
求椭圆 C 和抛物线 E 的标准方程；
第 1 页，共 1 页
若 的内切圆的半径为 ，求直线 l 的方程；
分别以 M，N 为切点作抛物线 E 的切线 ， ，则两切线的交点是否在定直线上？证明你的结论．
19. 本小题 17 分
已知 是定义在 I 上的函数，若对任意 ， 恒成立，则称 为 I 上的非负函数．
判断 是否为区间 上的非负函数，并说明理由；
已知 n 为正整数， 为区间 上的非负函数，记 a 的最大值为 ，求证：
数列 为等差数列；
已知 且 N ，函数 ，若 为区间 上的非负函数，
为 中的等差数列，求证：
第 1 页，共 1 页
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线 ，即 ，
故直线 与直线 之间的距离为
故选：
2.【答案】B
【解析】解：已知二阶等差数列 前几项为 5，8，13，20，根据定义，
数列 是 从第二项起每一项与前一项之差组成的数列。
那么 ，其中 ， ，所以 ， ， ， ，
则 ， ， ，则 ，
因为 是等差数列，其公差 ，
。
3.【答案】A
【解析】解： 函数 ，
。
时取得极大值
，解得 或 。
经检验：当 时， ，不满足极大值条件；
当 时，满足极大值条件。
综上，只有 符合题意。
故选 A。
4.【答案】D
【解析】解：由题可得： ，故 ，
展开式的第 项为 ，
由 得 ，
，即含 项的系数为
故选：
第 1 页，共 1 页
5.【答案】D
【解析】解：对 3，4，5 染色，有 种方法.
若 2 和 3 同色，则不同的染色方法有 种；
若 2 和 3 不同色，则不同的染色方法有 种.
综上，不同的染色方法有 种.
6.【答案】A
【解析】解：在四面体 ABCD 中， 与 为等边三角形，且 ，E，F 分别为棱 AD，
AB 的中点，
令 ，
则
，
，
，
异面直线 BE，CF 所成角的余弦值为
故选：
7.【答案】C
第 1 页，共 1 页
【解析】解：如图，分别过点 M，N 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为 P，Q，
则 ， ， ∽ ，
抛物线 的焦点 ，直线 过定点 ，
因为 ∽ ， ，
所以 ，
所以
8.【答案】B
【解析】 解：已知 ， ，
当 时，
因为 在 上单调递减或为常函数 时 ， 在 上单调递增，
当 x 足够大时， ，不满足 恒成立，所以
当 时，
在 上都单调递增，
所以，若 恒成立，只需 在 上的零点相同，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
第 1 页，共 1 页
所以 ，
即 的取值范围是
故选：
9.【答案】BD
【解析】解：由 ，双曲线 与双曲线 的焦距都是 2c，故 B 正确；
由两个双曲线的标准方程可得双曲线 的实轴是双曲线 的虚轴， ，故 A 错误；
双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率均为 ， ，故 C 错误;
双曲线 与 的渐近线都为 ，所以 D 正确.
故选
10.【答案】ABD
【解析】解：对于 A 选项：若直线 l 经过点 ，则点 M 满足两平面方程；
将点 代入平面 ，计算得 ，满足；
代入平面 ，计算得 ，满足，因此直
线 l 经过点 M，故 A 正确。
对于 B 选项：求直线 l 方向向量，两平面的法向量分别为 和 ，
设方向向量为
则 令 得 ，
所以：方向向量为 ，故 B 正确;
对于 C 选项：因为平面 法向量 ，方向向量 ，
， ， ，
正弦值为： ，故 C 错误;
D 选项：点 到平面 的距离公式： 选项 D 正确，
故选 ABD，
11.【答案】ACD
【解析】解：因为
对于 A，令 ，即 ，
第 1 页，共 1 页
当 时， ，所以 有两个不等实根，即 必有两个极值点，故 A 正确；
对于 B，设切点为 ，由导数几何意义有 ，
整理得 ，
因为过点 可以作曲线 的 3 条不同切线，
所以函数 与直线 有三个不同交点，
因为 ，
令 得 或 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
当 时， ， 递增；
所以当 时， 取极大值 当 时， 取极小值 ；
所以 ，即 ，故 B 错误；
对于 C，若 有三个不同的零点 ， ， 不妨设 ，
则 ①
②
③
由①-②得： ，
即 ④
同理得 ⑤
由④-⑤得：
即 又 ， ， 成等差数列
所以 ，即
所以 ，即 ，故 C 正确；
对于 D，若 有三个不同的零点 ， ， 则令
所以
第 1 页，共 1 页
所以
，故 D 正确
所以选
12.【答案】81
【解析】解： 将 代入到 中，
此时，左边 ，
右边 ，
所以
故答案为：
13.【答案】 或
【解析】解：圆的方程 ，配方可得 ，所以圆心坐标为 ，半径
，
故圆心到直线的距离 ，
当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，满足圆心到直线的距离为 1，所以 符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
此时直线方程为 ，则直线 l 的方程为 或
14.【答案】2022
【解析】解：因为数列 满足 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，
可得 ，
第 1 页，共 1 页
所以 ，故可得 ，
所以 ，
故 ，
由裂项相消法可得
，
代入可得 ，
又数列 单调递增且无界性，得 ，故 ，
因此 ，整数
15.【答案】解： 由题意，设正项等比数列 的公比为 ，则
由 ，可得 ，
即 ，
整理，得 ，
解得 舍去 ，或
数列 的通项公式为 ，
由 知，
则
故 …
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解： 当 时， ，
则 ，故点为
求导得： ，则 ，
第 1 页，共 1 页
所以切线方程： ，即
函数在 内有极值点，即 在 内有解，
方程 变形为： ，
设 ， ，
由 ，故 在 内严格递减，
， ，
所以 在 的值域为 ，
故 m 的取值范围为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解： 证明：过点 B 作 于 H，
平面 平面 ACD，平面 平面 ， ，
平面 ACD，
又 平面 ACD，故 ，
又 为直径， ，
又 ，BD， 平面 BCD，
平面 BCD，
又 平面 BCD，
，且 ，AD、 平面 BAD， ，
平面 ABD，
平面 ABD，
；
第 1 页，共 1 页
据 知， 平面 ABD，
，
当 时， 最大；
过点 D 作 于 O，
以 O 为坐标原点，OD，OA 所在直线为 x，y 轴，过 O 点垂直于平面 ABD 的方向为 z 轴，建立空间直角坐
标系，
设线段 AC 上存在一点 E，满足 ，
设平面 BED 的法向量为 ，
则点 ， ， ， ，
，则 ，
，
，
第 1 页，共 1 页
则 ，
令 ，可得 ， ，
故平面 BED 的一个法向量为 ，
因为平面 AEB 的法向量为 ，
则平面 BED 与平面 AEB 夹角的余弦值
，
解得 或 不合题意舍去 ，
所以 ，即 时平面 BED 与平面 AEB 夹角的余弦值等于
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】 解： 据题意可得 ， ，从而直线 l 方程为 ，
由 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
故椭圆 C 的标准方程为 ，
得 ，从而设抛物线的标准方程为 ，
则 ，得 ，
抛物线 E 的标准方程为 ；
据题意设直线 l 的方程为 ， ， ，
由 ，消去 y 得 ，显然 ，
则 ， ，
的面积
第 1 页，共 1 页
，
三角形面积公式
，
从而 ，解得 或 ，
故直线 l 方程为 或 ，即 或
设 ， ，
由 ，消去 y 得 ，显然
所以 ， ，
对于 ， ，
则点 M 处的切线 的方程为 ，因为 ，所以 ，
整理得 ，
同理，点 N 处的切线 的方程为 ，
设两切线交点为 ，则
得 ①，
将①代入第一个方程得 ，
所以无论 k 为何值，纵坐标恒为 ，故交点在定直线 上.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】 解：函数 是 上的非负函数.
因为 ，
所以当 时， ； 时 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
因此 在 恒成立，所以函数 是 上的非负函数.
证明：因为 ， ，
第 1 页，共 1 页
所以当 时， ；当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为
因为函数 是 上的非负函数，所以 ，而 ，
因此 ，所以 ，因此数列 是首项和公差都为 e 的等差数列.
证明：因为 ， 且 N ，
所以当 时， 当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为
因为 为区间 上的非负函数，所以
因为 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，所以由 得
因为由题意知： ，所以
令 ，则 ，
因此函数 是增函数，所以 ，即 ，当且仅当 时，等
号成立，
所以当 且 N 时， ，
因此
，
即
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
第 1 页，共 1 页