湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 i 是虚数单位，则复数 ( )
A. i B. C. D.
2.已知向量 ， 满足 ， ，若 ，则实数 的值为( )
A. 2 B. 4 C. D.
3.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 的
面积 ( )
A. 1 B. C. D.
4.如图，在正方体 中，点 N 为正方形 ABCD 的中心，E 为 中点，M 是线段 ED 的
中点，则( )
A. ，且直线 BM，EN 是相交直线
B. ，且直线 BM，EN 是相交直线
C. ，且直线 BM，EN 是异面直线
D. ，且直线 BM，EN 是异面直线
5.若 ， ，其中 ， ，则 ( )
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A. B. C. D.
6.将函数 的图象向左平移 个单位长度后，横坐标变为原来
的 倍，纵坐标不变得到函数 的图象，若 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在锐角 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边，已知 且 ，则锐角 面
积的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知实数 x，y，满足 ，则 的最大值为( )
A. 1 B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.下列说法正确的是( )
A. 复数 的虚部为
B. 若 是关于 x 的二次方程 的根，则 也是该方程的根
C.
D. 若复数 z 满足 ，则 的最大值为 6
10.如图，圆锥 SO 的底面半径为 1，侧面积为 ， 是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的母线长为 3
B. 圆锥 SO 的侧面展开图的圆心角为
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C. 由 A 点出发绕圆锥侧面一周，又回到 A 点的细绳长度的最小值为
D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
11.已知 O，H 在 所在平面内， ， ， ，记
， ， ，则下列说法正确的是( )
A. O 为 的外心 B. H 为 的内心
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 .
13.已知函数 在 处取得最小值，则 .
14.四面体 ABCD 中， ， ， ，且异面直线 AB 与 CD 所成角为 若四面体外
接球半径为 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形，其中 ， ，梯形上方为 圆.若将阴影图形绕 AE
旋转一周.
求阴影图形形成的几何体的表面积;
求阴影图形形成的几何体的体积.
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16. 本小题 15 分
已知 ，
若 ，求
若 ，
ⅰ 求函数 的单调递减区间;
ⅱ 英国数学家泰勒 发现了如下公式： ，其中
n! ，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确
保显示值的准确性.运用上述思想，计算 的值 结果精确到小数点后 3 位，参考数据：
，
17. 本小题 15 分
如图，在 中， ， ，点 O 为 AD 和 CE 的交点，设 ，
若 ，求 x，y 的值;
若 ， ， 与 的夹角为 ，
ⅰ 求 的面积;
ⅱ 求 的余弦值.
18. 本小题 17 分
如图，在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，D 为 BC 边上一点，已知 ， ，
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求
若 AD 平分 ，求 的面积;
若 D 为 BC 边的中点，E，F 分别为 AB 边及 AC 边上一点 含端点 ，且 ， ，求
的取值范围.
19. 本小题 17 分
材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的
乘积，且一次因式的个数 包括重复因式 就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元 次复系数多项式方程 至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元 次复系数多项式 在复数集中可以分解为 n 个一
次因式的乘积.进而，一元 n 次多项式方程有 n 个复数根 重根按重数计
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程
在复数集 C 内的根为 、 ，容易得到
设实系数一一元三次方程 ①
在复数集 C 内的根为 、 、 ，可以得到，方程①可变形为
展开得： ②
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比较①②可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
已知函数 ，函数 的图象上有四个不同的点 A、B、C、
对于方程 在复数集 C 内的根为 、 、 ，求 的值;
已知函数 ，对于方程 在复数集 C 内的根为 、 、 ，当
时，求 的取值范围.
若 ABCD 按逆时针方向顺次构成菱形，设 ， ，求代数式
的值.
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
【解答】
解：
故选
2.【答案】B
【解析】解：由题意，得 ， ，
若 ，
则若 ，
解得
3.【答案】D
【解析】解：由题意，在 中， ， ，
由正弦定理可得 ，
，又 B 为 的内角，
，
的面积
故选
4.【答案】B
【解析】解：设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，分别以 DA，DC， 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立
空间直角坐标系，
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则 ， ， ， ，
因为 M 是线段 ED 的中点，可得 ，
所以 ， ，
，
，
所以 ，
连接 BD，BE，易知 平面 BDE， 平面 BDE，
所以 ，且直线 BM，EN 是相交直线.
故选
5.【答案】B
【解析】解： ，
，
，
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，
， ， ，
故选：
6.【答案】C
【解析】解：
，
则 ，
因为
所以 是 图象的一条对称轴，
则 ，
解得
又 ，
所以 的最小值为
故选
7.【答案】C
【解析】解： 且 ， ，
根据正弦定理得， ，整理得 ，
， ， ，解得 ， ，
， ， ，
的面积
，
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为锐角三角形， ， ，
， ，
故选：
8.【答案】D
【解析】解：根据题意令 ，
则
要使 最大，则 最大即可，
即需满足 与 ，相切时， 最大，
联立可得 ，则 ，解得 ，
则 ，此时 ，
所以当切点为 时， 最大，
进而带入可得 的最大值为
9.【答案】BCD
【解析】解：对于 A、复数 的虚部为 ，故 A 错误；
对于 B、若 是关于 x 的二次方程 的根，
则其共轭复数 也是该方程的根，故 B 正确；
对于 C、因为 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D、 ，故 D 正确.
10.【答案】ACD
【解析】解：圆锥的侧面展开图如图所示：
设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，
圆锥 SO 的侧面积为 ， ， 选项 A 正确；
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圆锥 SO 的侧面展开图的圆心角 ， 选项 B 错误；
如上图，由 A 点出发绕圆锥侧面一周，
又回到 A 点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长 ，
， 选项 C 正确；
球与圆锥内切时，球的半径最大，
此时球心在轴 SO 上，且内切球的大圆内切于圆锥的轴截面．
设内切球的半径为 R，则圆锥的高为 ，
由等面积法得 ，解得 ， 选项 D 正确．
故选
11.【答案】ACD
【解析】解：因为 ，
所以 O 为 的外心，故 A 正确；
由 ，可得 ，
即 ，同理可得 ， ，
所以 H 为 的垂心，故 B 错误；
如图，
作直径 BD，连接 AD，
则 ，
又 为三角形 ABC 的垂心， ，则 ，
同理 ， 四边形 AHCD 为平行四边形，
，故 C 正确；
因为 ，
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两边平方可得 ，
故
，
即 ，
故
由向量的数量积定义： ，
同理 ， ，
所以
在 中，根据余弦定理得 ，
同理 ， ，
所以 ，故 D 正确.
12.【答案】
【解析】解：由正弦定理 ，可得： ，
可得： ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以 B 为锐角，
所以
13.【答案】
【解析】解：因为 ，其中 ，
因为函数 在 处取得最小值，
则 ，
则 ，
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所以
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：四面体 ABCD 中， ， ， ，且异面直线 AB 和 CD 所成的角为
，
构建直三棱柱 ，设 G，H 分别为 ， 的外心，
连结 GH，取其中点 O，
则 O 为直三棱柱 的外接球的球心，也是四面体 ABCD 的外
接球的球心，
异面直线 AB 与 CD 所成角为 ， ，
设三棱柱底面 的外接圆半径为 r，
则 ，
，
由余弦定理得： ，
，
，当且仅当 时等号成立，
四面体 ABCD 的体积：
四面体 ABCD 的体积的最大值为
故答案为：
15.【答案】解： 由题意知所得的几何体由两部分组成：圆台和半球，
在本题中，圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，母线长
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则圆台侧面积
圆台下底面积
半球表面积
故阴影图形形成的几何体的表面积 ；
圆台的高 ， ， ，则圆台体积
半球体积
故阴影图形形成的几何体的体积
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解： 若 ，
则 ，①
若 ， ，满足要求，此时 ②，
若 ， ， ， ；
ⅰ ，
令 ， ，
即 ， ，
所以函数 的单调递减区间 ， ；
ⅱ 因为 ，
所以 ，
由泰勒公式得： ，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解： 设 ，
则 ，
所以 ，
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所以 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
ⅰ ，
由 知， ，所以 ，
所以 的面积 ；
ⅱ 由 ，
，
， ， 与 的夹角为 ，
则 ，
，
，
，
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解： 因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
则 ，
即 ，
即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
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又因为 ，所以
由 得 ，
由余弦定理得 ，即 ，
因为 AD 平分 ，根据角平分线性质 ，且 ，
所以 ，
由余弦定理 ，
则 ，
则
因为 D 为 BC 边的中点，所以 ，
，
，
则
，
又 ， ， ，
则
，
因为 ，
则当 时，
当 时， ，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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19.【答案】解： 将 变形，已知 ，
则方程为 ，
由材料得 这里 ， ， ， ，
若根为 ， ， ，根据根与系数的关系有 ，
由题有 的三个实根为 ， ，
设 ，
展开得 ，
故 ，
则 ，又 ，故
，
综上：当 时， 的取值范围为
设菱形的对角线的交点为 M 点，设 M 点的坐标为 ，
先证明点 M 为函数的对称中心，
证明如下：由题意有 A，C 两点关于 M 对称，
设 ，故 C 点坐标为 ，
将 C 点坐标代入函数可得 ，
即 ，
即 ，
化简可得： ，
因为有四个不同的点，所以关于 m 的方程有四个不同的解，故各项系数均为 0，
即 ，解得 ，
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所以 ，且 在 上.
又因为 ABCD 按逆时针方向顺次构成菱形，故 ，
又 ，则 ， ，
所以 ，
即 ，
，
，
若 ，则 或 ，
即点 A 与点 M 重合或点 B 与点 M 重合，此时四边形 ABCD 不能构成菱形，
故
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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