河南省青桐鸣大联考2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省青桐鸣大联考2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共17页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 我国新能源汽车产销量连续5年居世界首位．某客户欲购买一辆新能源汽车，已知品牌有5种不同型号的汽车，品牌有10种不同型号的汽车，品牌有6种不同型号的汽车可供选择，则该客户不同的选择种数为（ ）
A. 21B. 40C. 56D. 300
【答案】A
【解析】根据分类加法计数原理可知，客户不同的选择种数为．
故选：A．
2. 已知服从两点分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由两点分布的性质可知，，
又，所以.
故选：C.
3. 在等比数列中，若，且，则公比（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】由题设及等比数列的性质有，可得，
而，则.
故选：D
4. 的展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
由可得，
故展开式中项的系数为．
故选：C．
5. 已知直线与圆相切，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】由，则，
所以圆心，半径，，
由题设，则.
故选：A
6. 某质检部门对一家超市中A，B，C三种食品进行质量抽查，从这三种食品中任取一件，质量合格率为，据该超市反馈，A，B两种食品的质量合格率分别为，，且A，B，C三种食品的件数之比为．根据上述信息推断，C种食品的质量合格率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设C种食品质量合格率为，
根据全概率公式可知，，解得．
故选：B．
7. 将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（ ）
A. 228种B. 192种C. 240种D. 168种
【答案】B
【解析】将捆绑在一起，视为一个整体，不考虑的位置，
则有（种）排法，
当两端时，有（种）排法，
所以满足要求排列方法有（种）.
故选：B
8.在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为E为的中点，所以，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，
设，所以，
所以，
点M到平面的距离，
当时，即与点重合时，点M到平面的距离最大，
此时，
直线与平面所成角的正弦值为，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则下列等式一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由，得，故A正确；
对于选项B：由，得，则，故B正确；
对于选项C：例如，则，即，故C错误；
对于选项D：因为，
所以，故D正确；
故选：ABD．
10. 已知随机事件满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件互相独立B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由，得，，．
对于A：，所以，
所以事件，互相独立，所以事件互相独立，故A正确；
对于B：因为事件互相独立，所以事件互相独立，
所以，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：
，故D错误．
故选：AC．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，有极大值
B. 当时，
C. ，恒成立
D. 当有且仅有两个零点时，
【答案】ABD
【解析】对于选项A，当时，．则.
令．解得．则当时．，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在有取得极大值，A正确．
对于选项B，，
当，时，，
故在单调递增，则，B正确．
对于选项C，若，当时，，C错误．
对于选项D，令，则，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，当时，恒成立．
画出的大致图象，如下：
可知当有两个零点时，，D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，是两个离散型随机变量，且，若，则______.
【答案】1009.
【解析】，是两个离散型随机变量，且，若，
因为，所以.
故答案为：1009.
13. 现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有_______种.
【答案】60
【解析】由题意知，一个7，两个3，三个5共6个数字全排列，共种方法，
又因为6个数字中有两个3和三个5是重复的，
所以共有种方法.
故答案为：60.
14.已知抛物线的焦点F到其准线的距离为,若等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点，在抛物线C上，则_______.（用含n的式子表示）
【答案】
【解析】由题设，易得，则，在抛物线C上，
等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，

设，则时，故，
所以，
当时，，
则，
若是的前n项和，则，
故，
显然时满足，
当，，
整理得，
又，则，
故是首项、公差都为2的等差数列，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知随机变量的分布列为
（1）求实数的值；
（2）求的数学期望；
（3）设随机变量，求．
解：（1）根据分布列的性质可得，．
解得．
（2）数学期望．
（3）的方差：
，
故．
16. 已知．
（1）求的值．
（2）若．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的展开式中含的项的系数．
解：（1）令，得，；
（2）（ⅰ）令，得，，解得．
（ⅱ）因为的展开式的通项为（且），
令，解得，
故的展开式中含的项的系数为．
17. 已知双曲线的右焦点为，过点F的直线l交C的右支于A，B两点，当轴时，.
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若直线l的倾斜角为，且C经过点，M为双曲线C的左支上一动点，求面积的最小值.
解：（1）当轴时，，
将代入方程中，得，
由，解得，即，
所以，整理得，所以，
故，由，解得，
即双曲线的离心率为.
（2）因为双曲线过点，所以，则，
所以双曲线的方程为，右焦点，
得直线，即.设，
，消去得，则，
所以.
设过点与直线平行的直线的方程为，
当与双曲线的左支相切时，与之间的距离最小，
此时的面积最小.
，消去得，
，解得.
当时，与双曲线的右支相切，不符合题意；
当时，与双曲线的左支相切，符合题意，
所以，与直线的距离为，
所以面积的最小值为.

18. 已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）证明：，．
解：（1）因为，所以，则，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，故．
（2），则，
所以在上恒成立．
故在上恒成立，
令，，则，
当时，，在单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，则，所以，故实数的取值范围为．
（3）由（2）可知，当时，，当且仅当时取得等号，
令，则，
所以，
，，…，
，
所以
．
故原不等式得证.
19. 若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量,将取值为的概率记作，其中.
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y.
（1）求，；
（2）求；
（3）已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望.
解：（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
所以，
因为是不可能事件，
所以；
（2）表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以，
所以；
（3）表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以，
又的可能取值为，
所以，
，
，
所以，
，
，
所以的分布列为
所以.
0
1
3