陕西省西安市临潼区2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市临潼区2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共10页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某天小张要坐动车或高铁从西安出发去汉中出差，已知当天西安到汉中有20趟动车、15趟高铁，则小张当天从西安出发去汉中的选择共有（ ）
A. 20种B. 35种C. 120种D. 300种
【答案】B
【解析】由分类加法计数原理，得小张当天从西安出发去汉中的选择共有种．
故选：B.
2. 若X的分布列为，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】由分布列的性质可知：，
所以，解得．
故选：B
3. 某工厂有甲、乙、丙3条流水线生产同一种产品，甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为0.03，0.02，0.01，现从该厂的产品中任取1件，则抽到不合格品的概率为（ ）
A. 0.021B. 0.022C. 0.023D. 0.04
【答案】B
【解析】根据全概率公式可得，任取1件产品且抽到不合格品的概率为
.
故选：B
4. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 15C. D. 30
【答案】B
【解析】，
令，得，
∴常数，
故选：B．
5. 现有2名导游与6位游客站成一排拍照，则导游不站在一起的排法共有（ ）
A. 种B. 种
C. 种D. 种
【答案】D
【解析】由插空法可得导游不站在一起的排法共有种．
故选：D.
6. 函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数的图象可知，当和时，；
当时，；
又由图可知当时，函数单调递增，则；
当时，函数单调递减，则，
所以的解集为．
故选：C.
7. 一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】设这一箱猕猴桃中有n个烂果．
由超几何概型，得，
解得或，
因为烂果率低于50%，所以，则．
故选：C
8. 用四种不同的颜色给图中5个区域染色，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算)染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）

A.112种B. 146种C. 192种D. 168种
【答案】D
【解析】对1，4，5染色，有种方法．
若1和3同色，则不同的染色方法有种；
若1和3不同色，则不同的染色方法有种．
综上，不同的染色方法有168种.故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若服从两点分布，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因为服从两点分布，且，所以，A错误，B正确；
随机变量的分布列为：
则，，故C与D都正确．
故选：BCD
10. 若数列为等比数列，其前n项积为，且，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】设的公比为，
由等比数列的性质可得，所以，
则
由选项可知，的值可能为，．
故选：AB
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象在点处的切线方程是
B.
C. 若关于的不等式恒成立，则
D.
【答案】BCD
【解析】对于A，，则，，
则的图象在点处的切线方程是，即，故A错误；
对于B，令，解得，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，故，故B正确；
对于C，恒过点，的图象过点，且在点处的切线方程为，
作出与的图象，由图知，要使关于的不等式恒成立，需使，故C正确；
对于D，令，则，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，当且仅当时，等号成立，
故，令，则，故，故D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若小张计划在下周一到周三中选一天去打羽毛球，已知他下周一，周二，周三去打羽毛球的概率分别为0.2，0.3，0.5，则他下周一不去打羽毛球的概率为________，在他下周一不去打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率为________．
【答案】0.8；0.625
【解析】设小张下周一、周二、周三去打羽毛球分别为事件A，B，C，
则，，，
则他下周一不去打羽毛球的概率为；
在他下周一不去打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率为
．
故答案为：0.8；0.625.
13. 对于数列，记区间内奇数的个数为，则称数列为的奇数列.若数列为数列的奇数列，则________，数列的前项和=
________.
【答案】2；
【解析】当时，
在区间内的奇数为3，5，共有2个，则．
易知在区间内的奇数为3，5，…，，
所以，
等差数列，首项，
则．
故答案为：2，
14. 在的展开式中，的系数为________．
【答案】
【解析】在的展开式中，含的项为，
所以的系数为．故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15 已知，且．
（1）求m的值；
（2）求的值．
解：（1）令，得；
令，得．
因为，所以，故．
（2）令，得，
因为，所以．
16. 围棋源于中国，是中国传统文化中的瑰宝，下围棋可陶冶情操．某中学坚持开展围棋活动，以提高学生的思维能力，其围棋社的成员中有60名男生，50名女生．为了解围棋社成员是否利用AI学棋的情况，现采用比例分配的分层抽样方法抽取11名成员调查分析．
（1）求男生和女生各抽取多少人．
（2）在抽取的11人中，有2名女生明确利用AI学棋，现在从剩下的9名成员中再依次随机抽取3次，每次抽取1人．
①在第一次抽到女生的条件下，求第二次抽到男生的概率；
②设抽到的女生人数为X，求X的期望．
解：（1）由题意，得分层抽样的抽样比为，
所以抽取男生的人数为，
抽取女生的人数为．
（2）由已知得剩下的9名成员中，有名女生，有6名男生．
①设“第一次抽到女生”为事件A，“第二次抽到男生”为事件B，
则，，
则．
②X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，
，
故．
17. 设随机变量，．
（1）求；
（2）若，求；
（3）当p在变化时，求取得最大值时p的值．
解：（1）因为，，
所以．
（2）因为，所以，
所以．
（3）因为，，所以．
设，求导得
．
可知在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
所以当时，取得最大值，
即取得最大值时，p的值为．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）证明：当时，的最小值不大于．
解：（1）的定义域为，．
当时，，单调递减区间为；
当时，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当时，由（1）可知．
令，，
则，
因在上单调递减，
则在上单调递减，且，
故当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，故，
所以，故当时，的最小值不大于．
19. 已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立．
（1）经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列；
（2）求第3次操作取到红球的概率；
（3）设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和．
解：（1）由题意，的所有可能取值为1,3，

故的分布列为
（2）由题意，
（方法一）设事件表示第次取到红球，
则

（方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为．
（3）由题意及（1）（2）得，
设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为．
由操作规则可知，
当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球，
当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球，
即，其中．
因为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则．
故．
即.
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