上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“”的____________条件.（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件
【答案】D
【解析】当时，必有，当时不一定，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：D
2. 不等式，的解集不可能是（ ）
A. B. R
C. D.
【答案】D
【解析】当，时，不等式，（）的解集是；
当，时，不等式，（）的解集是R；
当时，不等式，（）的解集是（）；
当时，不等式，（）的解集是（）.
∴不等式，（）的解集不可能是（）.
故选：D．
3. 已知集合，则满足的集合S共有（ ）个
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，
所以满足条件的集合为：，，，，，， ，，共8个.
故选：D.
4. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C. 对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D. 对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
【答案】B
【解析】解对于集合，，
可得当即可得，
即有，可得对任意，是的子集；
当时，，
可得是的子集；
当时，，
可得不是的子集；
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.
故选：
二、填空题：本题共12小题，共54分.
5. 已知全集为R，集合，则__________.
【答案】
【解析】因全集为R，集合，所以，
故答案为：
6. 集合，则集合_________.
【答案】
【解析】因为集合，由题意可知.
故答案：
7. 若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，则，当且仅当时，等号成立，
故答案为：
8. 若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．
故答案：
9. 已知，，则取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，，所以，，
所以的范围是
故答案为：
10. 若集合有且仅有一个元素，则实数______．
【答案】0或
【解析】当时，，符合题意；
当时，，即，
综上所述，或.
故答案为：0或.
11. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是______________．
【答案】且
【解析】用反证法证明命题“若，则或”，应假设且.
故答案为：且.
12. 一元二次不等式的解集是，则_____________
【答案】0
【解析】由题意可知的两个根分别是，且，
故，所以.
故答案为：0
13. 关于的不等式的解集有下列结论，其中正确的是______．
①可以是；②可以是；③可以是；④可以是．
【答案】②④
【解析】对于①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，
解得，与解集是矛盾，故①错误；
对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是，故②正确；
对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；
对于④：假设结论成立，则，解得，此时不等式为，
即，解得，符合题意，故④正确．
故答案为：②④．
14. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数_______.
【答案】
【解析】因为一元二次方程的两个实根分别为和，
所以，解得或，
所以，
又因为，
所以，即，
解得或（舍去）.
故答案为：.
15. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意可知，不等式对任意的恒成立，
由绝对值三角不等式可得，
则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
16. 不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则的取值范围是___________.
【答案】.
【解析】类比图像法解不等式，画出和，若对任意都有，则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：
由图像得，解得其中，
所以，当且仅当时等号成立，
故的范围为.
故答案为：.
三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求下列不等式解集．
（1）
（2）
解：（1）由，
所以，不等式解集为.
（2）由，则或，所以或，
故不等式解集为.
18. 已知集合，全集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，
因为，所以，，
（2）因为，所以，
当时，满足，此时，得，
当时，因为，
所以，解得，
综上，或，
即实数a取值范围为.
19. 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当时，
可得；
当时，
可得；
所以.
（2）若，则，
所以当时，万元；
若，则，
当且仅当，即台时，等号成立，万元；
因为，
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
20. 已知二次函数.
（1）若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值；
（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围.
解：（1）由题意得，即或，
因为，所以，
解得或4（舍去），所以.
（2）由题意得对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立，
令，则.
当且仅当即时等号成立，
所以即.
（3）当即时，经检验满足题意；
当即或时，
由得即，
经检验不合题意；
综上的取值范围为
21. 在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为．
（1）动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围；
（2）动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值；
（3）动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标．
解：（1）由已知，则根据“曼哈顿距离”定义得
，，
当时，成立，解得；
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述点的横坐标的取值范围是；
（2）设出动点，则，
又，所以，
当时，，
此时，
当时，，
此时
当时，，
此时
又
所以
综合得，当时取等号.即的最小值为
（3）设点，则，
若存在实数使得，则对任意成立，
取，有，取,有，
得，
所以.取，是上是偶函数，
当时，若，，
若，，当且仅当时取等．
所以存在实数且，使得最小值为，点