四川省眉山市东坡区2024-2025学年高一上学期1月期末联合考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省眉山市东坡区2024-2025学年高一上学期1月期末联合考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
2. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由集合，可得，
由，可得，
所以.
故选：A.
3. 以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A. 锐角三角形有一个内角是钝角
B. 至少有一个实数，使
C. 两个无理数的和必是无理数
D. 存在一个负数，使
【答案】B
【解析】对于A，“锐角三角形”省略了全称量词“（所有的）锐角三角形”是全称量词命题，且该命题为假命题，故选项A错误；
对于B，含存在量词“至少有一个”，为存在量词命题，且当时，成立，该命题为真命题，所以选项B正确；
对于C，“两个无理数的和”省略了全称量词“（任意）两个无理数的和”，是全称量词命题，
且无理数与的和为，是有理数，该命题为假命题，所以选项C错误；
对于D，含存在量词“存在一个”，当时，，故不成立，该命题为假命题，所以选项D错误.
故选：B.
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. 或x≥1
C. 或x>1D. 或x≥1
【答案】D
【解析】不等式可化为，所以，所以，解得或，
所以原不等式的解集为．
故选：D.
5. 已知全集，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A. {2，4}B. {0，3，5，6}
C. {0，2，3，4，5，6}D. {1，2，4}
【答案】B
【解析】，，阴影部分为.
故选：B．
6. 某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）.若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（ ）
A. 100台B. 200台C. 300台D. 400台
【答案】C
【解析】每台机器人的平均成本为（万元），
当且仅当，即时取等号，
因此应买300台机器人，可使每台机器人的平均成本最低.
故选：C.
7. 定义集合运算：.若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以或
所以或，或
所以或，，
代入验证得点在该直线上，
故.
故选：D.
8. 关于x的不等式的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】由可得，
当时，，即原不等式无解，不满足题意；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有1个整数，所以该整数解为2，因此由数轴法可得；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有1个整数，所以该整数解为0，因此由数轴法可得；
综上：或，所以实数a的取值范围为或.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BD
【解析】对于A，由，得，，故A不正确；
对于B，当时， 所以B正确；
对于C，当时， 所以C不正确；
对于D，因为，所以，所以D正确.
故选：BD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则：
B. 若，，则：
C. 若，，则：
D. 若，，则：
【答案】AC
【解析】对于A，由，，即，则，故A正确；
对于B，由，则，由，
则，故B错误；
对于C，由，则，由，则，故C正确；
对于D，当，且时，，即，故D错误.
故选：AC.
11. 下列选项中正确的是（ ）
A. 已知集合，若，则
B. 若不等式的解集为，则
C. 若集合满足，则满足条件的集合有8个
D. 已知集合，若，则取值范围为
【答案】CD
【解析】由，可知，所以或，
解得，或，或，
根据集合元素的互异性，可得或，故A错误；
因为的解集为，所以，
解得，故B错误；
由，可知集合必有2，4，
的个数为集合的子集数8个，故C正确；
因为，，所以，故D正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定为_________.
【答案】，
【解析】命题“，”为存在量词命题，
该命题的否定为“，”.
13. 已知，，，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】令，则，
即，
由，即，可得，
则.
14. 若不等式的解集为，则的值是___________.
【答案】
【解析】由题意可得方程的两个根分别为与，且，
则，解得，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设.
（1）求的值及；
（2）求.
解：（1）因为，所以，
所以，，解得，，
所以
（2）因为，所以，，
所以.
16. 在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合.
（1）当时，求A∪B；
（2）若_______，求实数a的取值范围.
解：（1）当时，集合，
所以.
（2）若选择①，
因为，所以，
又，所以或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则，
因为，所以，
又，所以或解得，
所以实数a的取值范围是.
若选择③，则，
因为，所以，
又，所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
17. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
解：（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得，
即，.
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为.
18. 如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物.
（1）若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；
（2）若每个长方形区域长为xm（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长x的取值范围.
解：（1）设每个长方形区域的长为xm（），则宽为，
则栅栏总长为
当且仅当，即时等号成立，
所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m.
（2）由题可知每个长方形区域的长为xm，宽为m，，
则长方形区域的面积为，栅栏总长为，
总费用，又总费用不超过180元，
，解得：，
又，，
故当时，总费用不超过180元.
19. 已知.
（1）若，求的解集；
（2）若的解集是集合的真子集，求实数的取值范围.
解：（1）由题意，当时，不等式，即，
即，解得，所以.
（2）由，可得，
当时，不等式的解集为.
由集合是集合的真子集可得，所以，
当时，不等式的解集为，满足题意；
当时，不等式的解集为，
由集合是集合的真子集，可得，所以，
综上可得，实数的取值范围为是.