四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试卷（解析版）

这是一份四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 与角的终边相同的角的集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为，所以角与角的终边相同，
所以与角的终边相同的角的集合为.
故选：B．
2. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据条件，，，，可得，
所以，函数零点所在的大致区间是.
故选：B.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】的定义域需满足，解得且，
故定义域为.
故选：C.
4. 已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，解得或，
可知的定义域为，
因为在定义域内单调递减，
且在内单调递减，在内单调递增，
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以函数单调递增区间为.
故选：D.
5. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知，，所以，即，
∴.
故选：D．
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，则，
所以.
故选：B.
7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数是R上的减函数，得，
解得，所以的取值范围是.
故选：A.
8. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由得，的图象关于直线对称，
令，则是偶函数，又当时，恒有，
故在上单调递减，所以在上单调递减，
则，
即得，解得或.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由，，且，则，所以，
若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数，
且单调递减，又函数与关于y轴对称，
所以曲线为增函数，选项B符合条件；
若，则，曲线函数图象下降，即为减函数，
且单调递增，又函数与关于y轴对称，
所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件.
故选：BC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“，”的否定为“，”
B. 若，，则
C. 若幂函数在区间上是减函数，则或
D. 方程有一个正实根，一个负实根，则
【答案】AD
【解析】对于A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“，”的否定为“，”，A选项正确；
对于B选项，若，，如，，，，则，B选项错误；
对于C选项，函数是幂函数，所以，解得，所以C选项错误；
对于D选项，设，则有两个零点，且两个零点一正一负，则，所以D选项正确.
故选：AD.
11. 给出下列说法，正确的有（ ）
A. 函数单调递增区间是
B. 已知的定义域为，则的取值范围是
C. 若函数在定义域上为奇函数，则
D. 若函数在定义域上为奇函数，且为增函数
【答案】BCD
【解析】A选项，由，得，故A错误；
B选项，定义域为，则恒成立，则，∴，故B正确；
C选项，定义域为，且为奇函数，∴，∴，
当时，，满足题意，故C正确；
D选项，∵，∴fx的定义域为，
且，
∴为奇函数，
又时，，均为增函数，
∴也是增函数，而为增函数，
∴为增函数，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对任意且，函数的图象都过定点，且在角的终边上，则______．
【答案】
【解析】令，解得，所以，
所以函数的图象经过定点，
所以点在角的终边上，则．
13. 已知函数，若方程有3个实数根，则实数k的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意，方程有3个实数根，
即为与有3个交点，
由的解析式知：当时，；
当时，对称轴为且；
图象如下图示：
∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根.
14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则_______．
【答案】
【解析】令，因为，
所以，因为的对称中心为，
所以是奇函数，
故，化简得，
当时，有定义，故，即得到，
而，，
故，解得，，可
得关于中心对称，故，
即，，，
故
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）.
（2）.
解：（1）
=.
（2）=.
16. 设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值集合.
解：（1）当时，，所以，
又或，
所以或.
（2）因为，
当时，，解得.
当时，则，
综上，实数的取值集合为.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）写出函数的解析式；
（2）若函数，求函数的最小值.
解：（1）设，则，可得，
因为函数是定义在R上的奇函数，
可得，所以.
（2）当x∈2,4时，则，
可得，
可知的图象开口向下，对称轴为，
当时，即时，；
当时，即时，.
18. 北京时间2024年8月12日凌晨，历经19个比赛日的激烈角逐，第33届奥运会在巴黎落下帷幕，奥运会上互换的“pin”（即奥运徽章）是奥运会期间的一种重要纪念品和文化交流媒介．人们经常能在奥运村、比赛场馆等场所展示和交换自己的奥运徽章，奥运徽章的交换不仅限于运动员中间，还包括观众、媒体、志愿者甚至奥组委人员．中国队的熊猫pin更是受到了各国友人的喜爱，造成了一pin难求的局面．通过市场分析，对熊猫pin而言，某企业每生产x（万件）获利w（x）（万元），且满足.2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前熊猫pin供不应求．记该企业2024年8月优化后的产品的利润为（单位：万元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当2024年8月优化后产品产是为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
解：（1）由已知，，
又，所以.
（2）当时，，
则时，；
当时，
，
当且仅当，即时，.
因为，所以的最大值为390，
故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元．
19. 已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）已知函数在上单调递增；
①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）；
②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围；
（3）设函数，求在上的最小值.
解：（1）函数是定义在R上的奇函数，
，即，解得.（经检验满足题意）.
（2）①函数在上单调递增，理由如下：
因为在单调递增，又为奇函数，
故函数在上单调递增；
②函数在R上单调递增，且为奇函数，
等价于，
对任意，不等式恒成立，
即，对任意恒成立，即，
，解得，
的取值范围是.
（3）令，则，
当，时，.
，，
，，
二次函数开口向上，对称轴为，
在区间上单调递增，，
即在上的最小值为.