四川省绵阳市三台县2024-2025学年高二下学期期中教学质量调研测试数学试卷（解析版）

这是一份四川省绵阳市三台县2024-2025学年高二下学期期中教学质量调研测试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，.若，，三个数成等差数列，则（ ）
A. 10B. 5C. 1D.
【答案】B
【解析】因为，，
若，，三个数成等差数列，所以.
故选：B.
2. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶,假设时汽车的速度（单位：）为，则汽车在第时的瞬时加速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以，
所以汽车在第时的瞬时加速度为.
故选：B
3. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 12B. 18C. 21D. 27
【答案】C
【解析】因为为等比数列的前项和，且，，
易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C.
4. 下列说法正确的是为（ ）
A. 函数的极大值可以小于该函数的极小值
B. 函数的增区间为
C. 若函数的导数，则函数在处取得极值
D. 若函数的极小值点为
【答案】A
【解析】A. 函数的极大值可以小于该函数的极小值，故该选项是正确的；
B. 函数的增区间为，不能说函数的增区间为，例如，，故该选项是错误的；
C. 若为的导函数，则是在某一区间存在极值的非充分条件，
如函数，但是函数是R上的增函数，所以并不是函数的极值点.故该选项是错误的；
D. 函数，，
单调递减，单调递增，所以是极小值点，故该选项是错误的.
故选：A.
5. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数，
且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小，
结合选项，可得选项D复合题意.
故选：D.
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7＞0，a6+a8＜0，则Sn最大时n的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】,
,
,最大.
故选:C
7. 将一个边长为（单位：）的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积最大为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设无盖方盒的底面边长为，小正方形的边长为，则，
则无盖方盒的容积为：，得，
令，解得或，
令，解得，
函数的定义域为，
函数的单调增区间是：，函数的单调减区间是：
令，得或（舍），求得，
由的单调性知，16为的最大值，
故截去的小正方形的边长为1m时，无盖方盒的容积最大，故选：D.
8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．比如取正整数，根据上述运算法则得出，递推关系如下：数列满足，若，则所有可能的取值集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，且，
则，则，则或；
当时，则，或，或；
当时，则或（舍去），
当时，则，或，
所以所有可能的取值集合是，
故选：D
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，
所以，故D正确；
故选：BD.
10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（ ）
A.
B. 当时，数列的公差为2
C. 当时，是数列中的项
D. 若是数列的项，则正整数的取值为、、
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意得，故A正确；
对于B，当时，数列的公差为，故B错误；
对于C，当时，数列的首项为2，公差为，
故，故，
令，解得，所以是数列的第8项，故C正确；
对于D，插入个数，则，，，，，
所以等差数列中的项在等差数列中对应的项的序号是
以1为首项，为公差的等差数列，即，
若是数列的项，则，即，
因为，所以的可能取值为，
则正整数取值为、、，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调减区间为
B. 函数的单调增区间为，
C. 函数极大值为1，函数的极小值为
D. 方程恰有2个解时实数的取值范围为
【答案】BC
【解析】的定义域为，
，令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故的单调递增区间为，；的单调递增区间为，.
故A错误，B正确.
所以当时，有极大值为；
所以当时，有极小值为，故C正确.
当时，，当时，，
当时，，当时，，
则的图象如下：

方程恰有2个解时实数的取值范围为，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为____________．
【答案】
【解析】因为函数，定义域为，
所以，
令，所以，
的单调递减区间为.
故答案为：或.
13. 已知数列的前项和为，若，且，则______.
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
经检验得时符合上式，所以，
由，即，解得，
故答案为：
14. 已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则______.
【答案】
【解析】设直线与函数相切于点，
与相切于点，
其中，，
故且，，
联立与得，解得，故，
又，故，即，
化简得
将代入中得
，解得.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）依题意，设等差数列的公差为，，
因为，所以，
整理得，
因为成等比数列，所以，
整理得，则或（舍去），
联立，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则
.
16. 已知在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
解：（1）由，则，
因为在处取得极值，
所以，解得，
此时，则，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极小值，符合题意，则.
（2）由（1）知，，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在区间上最大值为，最小值为.
17. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为，从今年1月开始,工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加.
（1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量；
（2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？
参考公式：月产消毒剂中不合格的量＝月产量（1－月产品合格率）
参考数据：，，，
解：（1）设从今年1月起，各月的产量构成数列，因为，且，
可知数列是以公比为的等比数列，
所以今年1月到12月该消毒剂的总产量为升.
（2）设从今年1月起，各月不合格率构成数列，
则，，
则从今年1月起，各月不合格产品数量是，
因为
，
当时，；当时，；当时，；
且，，
所以第12个月，不合格的量能一直控制在120升以内.
18. 已知数列的前项和为，，且；数列的首项,且满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
解：（1）因为，
所以，
又，则，故，
所以是首项与公比都为的等比数列.
（2）依题意，，
当时，，
两式相减，得
整理得，即，则，
又，所以，
所以是各项为的常数列，
所以，即.
（3）由（1）得，即，
所以，
则，
所以，
两式相减，得
.
所以.
19. 已知函数.
（1）当时，求证；
（2）讨论的单调性；
（3）讨论零点个数.
解：（1）若，则，，
令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以.
（2）因为，
若，则，可知在上单调递减；
若，令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在上单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减.
（3）若，可知在上单调递减，
当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可知有且仅有1个零点；
若，可知在内单调递增，在内单调递减，
当趋近于，时，趋近于
则，
可知在内单调递增，且，
当时，则，即，可知无零点；
当时，则，可知有且仅有1个零点；
当时，则，可知有且仅有2个零点；
综上所述：当时，无零点；
当或时，有且仅有1个零点；
当时，有且仅有2个零点.