天津市滨海新区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份天津市滨海新区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题.
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，.
故选：A.
2. 已知a，b，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】对于选项A：例如，则，故A错误；
对于选项BC：例如，满足，则，，故BC错误；
对于选项D：若，则，可得，故D正确.
故选：D.
3. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A中，函数在定义域内既是奇函数又是增函数，A正确；
对于B中，函数是定义域内的非奇非偶函数，B错误；
对于C中，函数是定义域内的奇函数，在和0,+∞上为增函数，C错误；
对于D中，函数是定义域内的非奇非偶函数，D错误.
故选：A.
4. “”是“函数存在零点”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若函数存在零点，且，等价于，
所以“”是“函数存在零点”的充要条件.
故选：C.
5. 将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（ ）
A. 将图象向左平移个单位B. 将图象向右平移个单位
C 将图象向左平移个单位D. 将图象向右平移个单位
【答案】B
【解析】对于A：将图象向左平移个单位，可得，故A错误；
对于B：将图象向右平移个单位，可得，故B正确；
对于C：将图象向左平移个单位，可得，故C错误；
对于D：将图象向右平移个单位，可得，故D错误.
故选：B.
6. 已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为在内单调递增，则，即；
内单调递增，则，即；
内单调递减，则，所以；
综上所述：.
又因为在内单调递增，所以.
故选：A.
7. 若曲线y=fx的部分图象如图所示，则的解折式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图象可知，
对于选项A：因为，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
由图象可知：存在，使得在内单调递减，
对于选项C：因为在内单调递增，且在内单调递增，
可知在内单调递增，故C错误.
故选：D.
8. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】B
【解析】因为，
其中，
若函数的图象关于直线对称，
为函数的最大值，
则，解得，所以.
故选：B.
9. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ）
A. B. 0C. 7D.
【答案】D
【解析】由题意可得，
因为点A在角的终边上，所以，所以.
故选：D.
10. 给出下列判断：
①“，”的否定为“，”；
②函数与函数是同一个函数；
③若角与角的终边在一条直线上，则（）；
④.
其中，判断正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】对于①：“，”的否定为“，”，故①错误；
对于②：因为，
可知函数与函数的对应关系不相同，不为同一函数，故②错误；
对于③：若角与角的终边在一条直线上，则（），故③正确；
对于④：，故④错误；
所以正确的个数为1.
故选：A.
11. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：C.
12. 已知函数（），给出下列判断：
①若函数的最小正周期不小于，则的最大值为.
②若函数满足，则.
③若函数的图象向左平移个单位后所得函数在区间上单调递增，则的可能取值为.
④当时，设，（）为方程在区间上的两个解，则.
其中，判断正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】对于①，因为，所以，解得，故①正确；
对于②，若，即得，则，故②错误；
对于③，因为图象平移后令，当时，，
依题意，则，显然，解得，
又，因此，③正确；
对于④，因为，又因为，所以，
则，
因为，所以，所以，故④正确；
所以正确的个数为3个.
故选：C.
二、填空题.
13. 已知函数是幂函数，若，则__________．
【答案】
【解析】根据题意，设，由，得，
故，．
14. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________.
【答案】
【解析】由题设，扇形半径，故扇形面积为.
15. 已知函数（），函数y取得最小值为__________.
【答案】6
【解析】因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数y取得最小值为6.
16. 已知，则__________．
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以.
17. 的定义域为_________；若，则__________．
【答案】 3
【解析】空一：由函数解析式可知：，
所以该函数的定义域为：；
空二：因为，
所以．
18. 1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为______；同时参加田径和球类比赛的人数为______.
【答案】9 3
【解析】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人．
又因为没有人同时参加三项比赛，所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人．
设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得：，
解得：，
故同时参加田径和球类比赛的人数为.
19. 某种茶水用100℃的水泡制，再等到60℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y（单位：C）与经过时间t（单位：min）的函数关系是：，其中a为衰减比例，是室温，时．y为茶水初始温度，若室温为20℃，，茶水初始温度为100℃，则__________℃，产生最佳口感所需时间是__________min．
【答案】
【解析】由题意，，当时，有，，
则，当时，即，所以，
，可得，．
20. 已知函数，若关于x的方程（）有四个不同的解，则k的取值范围是__________；四个不同的根从小到大依次记为，，，，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】作出函数的图象，
关于x的方程（）有四个不同的解，
可知y=fx与的图象有4个交点，由图象可知k的取值范围是；
因为，，且，即，
又因为，即，
可得，即，
则，
因为在内单调递增，且，
可知，即，可得，
所以的取值范围是.
三、解答题.
21. 已知，是第三象限角.
（1）求，的值；
（2）求，的值.
解：（1）因为是第三象限角，所以，
因为，，故，.
（2），
由，，
所以.
22. 已知二次函数，．
（1）若时，求不等式的解集；
（2）若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围：
（3）解关于x的不等式．
解：（1）当，函数，
将代入得，，
不等式的解集为：.
（2）因为的对称轴为：，
为了使函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外，
或，解得：或，
因此，实数a的取值范围为：.
（3）将原不等式代入得，
整理后得：，即，
①当时，不等式的解集为：，
②当时，不等式的解集为：，
③当时，不等式的解集为：，
综上所述：当时，解集为：；
当时，解集为：；
当时，解集为：．
23. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间：
（3）当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合.
解：（1）由题意知
，
所以函数的最小正周期.
（2）令，，解得，，
所以的单调递增区间为.
（3）当，则，可得，
则，解得，
所以，
由，即，可得，解得，
所以使成立时自变量的集合为.
24. 已知函数.
（1）求函数的定义域，判断函数在定义域上的单调性并用定义证明；
（2）求不等式；
（3）函数（，），若存在，，使得成立，求实数a的取值范围.
解：（1）在内为减函数，证明如下：
令，可得，可知的定义域为，
且，
可知在内单调递减，
设，则，
且在定义域内单调递增，则，
可得，所以在内为减函数.
（2）可知的定义域为，
且，
即，所以为奇函数.
因为，则，
且在定义域内为减函数
则，可得，则，
且，解得：，
所以原不等式的解集为.
（3）函数，
若存在，使得成立，可知和的值域的交集非空，
当，则，可得的值域为，
若时，在递减，可得的值域为，
则，即；
若，则在递增，可得的值域为，
此时，不合题意；
综上所述：实数a的范围是.