浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 给出的下列选项中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：C
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故.
故选：A
3. 已知角α的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为角α的终边经过点，
所以.
故选：B.
4. 某学校4000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数为（ ）
A. 200B. 400C. 2800D. 2000
【答案】B
【解析】由题意可知该正态分布的均值为90，由正态分布的对称性可知，
即成绩在90分及以上的学生人数约为，
因为成绩在的学生人数约为1600，
故估计成绩在100分以上的学生人数为.
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. B. 3C. 1D.
【答案】B
【解析】由题干条件可知，所以，
由和角的正切公式可得.故选：B.
6. 某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（ ）
A. 624B. 528C. 312D. 264
【答案】D
【解析】如果2节数学课排在上午，则数学课的安排情况为，，，共3种排法，
此时体育课排在下午，有3种排法，剩下的4节课有种排法，
所以数学课排在上午共有种排法.
如果2节数学课排在下午，则数学课的安排情况为，，共2种排法，
此时体育课排在下午，有1种排法，剩下4节课有种排法，
所以数学课排在下午共有种排法.
综上，不同的排法种数为，
故选：D.
7. 已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则t的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由的展开式中唯有第5项的系数最大，
得，而，解得，即，
所以t的取值范围是.
故选：D
8. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，
又函数既有极大值也有极小值，故方程有两个不相等的正根，
故，则，排除ACD.
因为，故异号，故.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知离散型随机变量X的分布列如下表：
则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，由题意得，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，
所以，故C正确；
对于D，故D错误；故选：BC
10. 甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有5个白球和5个黑球；乙盒子中装有4个白球和6个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是（ ）
A. ，是互斥事件B. ，是独立事件
C. D.
【答案】ACD
【解析】对A，因为每次只摸出一个球，故，不能同时发生，故，互斥事件，故A正确；
对B，因为，，
，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，则（ ）
A. 点是图像的对称中心B. 是的极小值点
C. 当时，D. 当时，
【答案】ABD
【解析】由题可得，令，得或，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，，
且当时，，当时，，
所以可作出的大致图象如图所示：
选项A：设，则，令，得，
又，所以点是图象的对称中心，故A正确；
选项B：易知是的极小值点，故B正确；
选项C：当时，，又在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，，，
所以，故C错误.
选项D：当时，，又在上单调递增，
所以，故D正确；
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在展开式中，各项系数的和是________.
【答案】
【解析】对于二项式，令可得展开式各项系数的和为.
故答案为：
13. ，则________
【答案】
【解析】对函数求导得：，
当时，，解得，
故答案为：.
14. 某学校兴趣小组,该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人,既学舞蹈又学声乐的有2人,从该兴趣小组中任选2人,设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数,若,则该兴趣小组的人数是________人．
【答案】7
【解析】由题意，可能的取值为0，1，2，
设该兴趣小组的人数是，，则
，，
故，即，则，
故，即，因为为整数，故.
故答案为：7
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）讨论函数在上的单调性．
解：（1）
故函数的周期为，
当，，即，，函数取到最大值为.
（2）由（1）得
当时，，
从而当，即，单调递增；
当，即时，单调递减．
综上可知，在单调递增，在单调递减．
16. 已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中所有的有理项．
解：（1）展开式的通项为：，
因为展开式中的前三项系数成等差数列．所以，
整理得：，解得：或（舍）．
所以；
（2）第5项的二项式系数最大，
所以二项式系数最大项为；
（3）展开式的通项为
当时，；当时，
17. 已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；
（2）探究的最小值；
（3）当时，求的最小值的极值．
解：（1）当时，，，
则，，
所以切线的方程为
（2）定义域为．
当时，，则在上单调递增，故没有最小值；
当时，在单调递减，在单调递增，
所以
综上所述：当时，没有最小值；当时，最小值为；
（3）由（2）可得
设，则，
令，得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
18. 某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”.规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分.某班派了甲､乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格.
（1）三题答完结束后，记为乙同学的累计得分，求的分布列和期望；
（2）求班级获得决赛资格的概率.
解：（1）由题意可得：可能取值为：0，10，20，30.
；
；
；
；
所以分布列为：
分.
（2）记为甲同学的累计得分
.
而；
；
所以班级获得决赛资格的概率：.
19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，，注：，，，，…
已知函数在处阶帕德近似为．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）证明：当时，；
（3）设t为实数，讨论方程的解的个数．
解：（1），，由，可知，又，，，，由题意，，，所以，，综上，，.
（2）由（1）知，，令，
，所以在内为增函数，
又，时，，得证．
（3）的定义域是，
①当时，，所以在上单调递增，且，所以在上存在1个零点；
②当时，令，由，得，．又因为，
，所以，．
当时，因为，所以在上存在1个零点，且，；
当时，因为，，而在单调递增，且，而，故，所以在上存在1个零点；
当时，因为，，而在单调递增，且，而，所以，所以在上存在1个零点．从而在上存在3个零点．
综上所述，当时，方程有1个解；当时，方程有3个解.
X
0
1
2
5
P
a
2a
0
10
20
30
x
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增