浙江省绍兴市上虞区2025届高三下学期５月高考及选考适应性考试数学试卷

这是一份浙江省绍兴市上虞区2025届高三下学期５月高考及选考适应性考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合M=xx2-x0时，f(x)的单调递减区间为a,+∞，单调递增区间为0,a.
17．在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且4S=3a2+c2-b2．
（1）求角B的大小；
（2）设点M是三角形内一点，且BM=2，∠MBC=π4，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求1MP+1MQ的最大值．
解：（1）由余弦定理可得csB=a2+c2-b22ac，则a2+c2-b2=2accsB，
又S=12acsinB，由4S=3a2+c2-b2可得2acsinB=23accsB，
即tanB=3，且B∈0,π，所以B=π3.
（2）设∠BMQ=θ，则θ∈0,34π，则∠BQM=π-θ+π4，
在△BQM中，由正弦定理可得BMsin∠BQM=MQsinπ4，
则MQ=BM⋅sinπ4sin∠BQM=2×22sinπ-θ+π4=2sinθ+π4，
则1MQ=sinθ+π42=22sinθ+22csθ2=12sinθ+12csθ，
由∠BMQ=θ可得∠BPM=θ-π12，
且sinπ12=sinπ3-π4=32×22-22×12=6-24，
csπ12=csπ3-π4=32×22+22×12=6+24，
在△BPM中，由正弦定理可得BMsin∠BPM=MPsinπ12，
则MP=2sinπ12sin∠BPM=2×6-24sinθ-π12=6-22sinθ-π12，
所以1MP=sinθ-π126-22=6+26+24sinθ-6-24csθ2=8+434sinθ-csθ2=1+32sinθ-12csθ，
则1MP+1MQ=1+32sinθ-12csθ+12sinθ+12csθ=3+32sinθ，
且θ∈0,34π，所以当θ=π2时，即sinθ=1，1MP+1MQ取得最大值3+32.
18．已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点到准线的距离是12．
（1）求抛物线方程；
（2）设点Am,-1是该抛物线上一定点，过点A作互相垂直的直线分别交抛物线C于点B，C，连接BC．
（ⅰ）求证：直线BC恒过一定点；
（ⅱ）过点A，B，C分别作切线，三条切线两两相交于P，Q，R，若△PQR的面积为32，求直线BC的方程．
解：（1）抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为p2,0，准线为x=-p2，
因为焦点到准线的距离是12，所以p=12，
所以抛物线方程为y2=x；
（2）因为点Am,-1在抛物线y2=x上，所以m=1，所以A1,-1，
（ⅰ）设直线BC的方程为x=ty+n，Bx1,y1，Cx2,y2，
联立x=ty+ny2=x得y2-ty-n=0，则y1+y2=t,y1y2=-n，Δ=t2+4n>0，
AB=x1-1,y1+1，AC=x2-1,y2+1，
因为AB⊥AC，所以AB⋅AC=0，所以x1-1x2-1+y1+1y2+1=0，
又x1=y12，x2=y22，所以y12-1y22-1+y1+1y2+1=0，
所以y1+1y2+1y1-1y2-1+1=0，
因为y1≠-1，y2≠-1，所以y1-1y2-1+1=0，
所以y1y2-y1+y2+2=0，所以-n-t+2=0，即n=2-t，
所以x=ty+2-t=ty-1+2，
所以直线BC恒过定点2,1；
（ⅱ）对y2=x两边求导的2y⋅y'=1，所以y'=12y，
在点A1,-1处的切线的斜率kA=-12，
所以切线方程为y+1=-12x-1，即x+2y+1=0，
在点Bx1,y1处的切线的斜率kB=12y1，
所以切线方程为y-y1=12y1x-x1，所以x-2y1y-x1+2y12=0，
又x1=y12，所以x-2y1y+y12=0，
在点Cx2,y2处的切线方程为x-2y2y+y22=0，
设PxP,yP,QxQ,yQ,RxR,yR，
联立x+2y+1=0x-2y1y+y12=0，得yp=y1-12，则xP=-y1，
联立x+2y+1=0x-2y2y+y22=0，得yQ=y2-12，则xQ=-y2，
联立x-2y1y+y12=0x-2y2y+y22=0，得yR=y1+y22，则xR=y1y2，
所以PQ=xP-xQ2+yP-yQ2=y1-y22+y1-y224
=5y1-y224=5y1+y22-4y1y24=5t2+4n4，
点R到直线x+2y+1=0的距离为d=xR+2yR+15=-n+t+15，
所以12⋅-n+t+15⋅5t2+4n4=32，又n=2-t，
解得t=2，所以直线BC的方程的方程为x-2y=0.
19．已知数列an满足：①an∈Z，②∣an+1-an∣≤1，则称数列an有性质Ω，数列an称为“Ω数列”，记Sn=a1+a2+⋯+an．
（1）若a3=2，写出a1的所有可能值（直接给出答案即可）；
（2）当a1=0，n=2026时，设p:a2026=2025；q:Ω数列an为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由；
（3）若Ω数列an符合a1=0且an≠an+1，记集合M=iSi=0i=1,2,⋯,n．在i=1,2,⋯,n中任取两个不同元素x，y，求：x且y∈M的概率最大值．
解：（1）因为数列an满足：①an∈Z，②∣an+1-an∣≤1，
故由a3=2，得a2的可能取值为1,2,3，
若a2=1，则a1可为0,1,2；
若a2=2，则a1可为1,2,3；
若a2=3，则a1可为2,3,4；
综合所述，a1的可能取值为0,1,2,3,4.
（2）p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明：
先证明条件q推不出条件p，
因为an为等差数列，且为Ω数列，
因为a1=0，所以常数列an：0,0,0,...,0满足条件，
此时a2026=0，故条件q推不出条件p，
再证明条件p能够推出条件q，
数列an满足：①an∈Z，②|an+1-an|≤1且a1=0，a2026=2025，
因为从a1=0到a2026=2025需要净增长2025
在2026项的约束下，要满足an∈Z，∣an+1-an∣≤1，唯一可能的方式是每次增加1，
即该数列只能是：0,1,2,...,2025，因此“Ω数列”an为等差数列，即条件p能够推出条件q，
综上所述，p是q的充分不必要条件，
（3）a1=0，
当n≥2时，令a2k-1=(-1)k+1,a2k=(-1)k（k=1,2,…），
当n为奇数时，数列an：0,-1,1,-1,1,-1,…，
此时S1=0，S2=1，S3=0，S4=1，S5=0，．．．，，
此时M={1,3,5,…,n}，
P=(n+122)(n2)=(n+1)(n-1)8n(n-1)2=n+14n；
当n为偶数时，数列an：0,1,-1,1,-1,…,1,-1，
此时S1=0，S2=1，S3=0，S4=1，．．．，
此时M={1,3,…,n-1}，
P=(n22)(n2)=n(n-2)8n(n-1)2=n-24(n-1)；
对于所有n≥2：当n为奇数时，n+14n≥n-24(n-1)；当n为偶数时，n-24(n-1)为可能的最大值，
因此，概率的最大值为：Pmax=n+14n若n为奇数,n-24(n-1)若n为偶数.