北京市大兴区2024-2025学年高一上学期期末检测数学试卷（解析版）

这是一份北京市大兴区2024-2025学年高一上学期期末检测数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，.
故选：C.
2. 方程的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，，解得或，
由，得，则，解得，所以方程的解集为.
故选：D.
3. 下列函数中，与是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，函数的定义域为.
对于A，函数的定义域为，但，故A错误；
对于B，函数的定义域为，但，故B正确；
对于C，函数的定义域为，故C错误；
对于D，函数的定义域为，故D错误.
故选：B.
4. 在区间上单调递增的函数可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递减，故A错误；
对于B，由幂函数的单调性，得函数在上单调递减，故B错误；
对于C，由二次函数的性质，得函数在上单调递减，故C错误；
对于D，因为指数函数在上单调递增，
且指数函数在上单调递减，
即函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故D正确.
故选：D.
5. 关于的不等式的解集不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，，则不等式是一元二次不等式，
由二次函数的对称性可知，
不等式的解集不可能是.
故选：D.
6. 设均为锐角，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为均为锐角且“”，得到，故；
得到，故，故是充分必要条件.
故选：C.
7. 将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，得，，
设函数的最小正周期为，
因为，所以，，
又，，
解得，，所以正数的最小值为6.
故选：A.
8. 当时，，则a的取值范围是（ ）
A. (0，)B. (，1)C. (1，)D. (，2)
【答案】B
【解析】当时，显然不成立.
若时，当时，，此时对数，解得，
根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，
则有，如图.
故选：B.
9. 已知函数则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，，则；
又，，则，所以，故A错误；
对于B，当时，，所以，则，
当时，，所以，则，
因为余弦函数在上单调递减，所以，
即，故B错误；
对于C，取，因为，所以，
又，所以，此时不成立，故C错误；
对于D，由，得，即，
由，，解得，，
所以当，时，；
当，时，；
因此，当，时，，
此时，，
则，此时满足；
当，时，，
此时，，
则，此时满足；
综上所述，函数满足，故D正确.
故选：D.
10. 衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新樟脑丸经过天后，体积变为，则约为（ ）（参考数据：，）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，当时，，所以，
化简得，
因为，，所以，即，
则
.
故选：A.
二、填空题.
11. 与30°终边相同的角的集合是_____.
【答案】
【解析】与角终边相同的角的集合是.
12. 已知，则________，的最小值为________．
【答案】1 2
【解析】由题意，，由，得，即，则；
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.
13. 函数的值域为，能使成立的一个值为________．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】函数的值域为，因为，所以.
14. 已知函数，若，则函数的减区间为______；若存在，使函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】当时，，画出的图象如下图所示，
由图可知，的减区间为.
是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减，0，+∞单调递增，
是奇函数，图象关于原点对称，且在上单调递增，
，解得或，
要使函数的图象与直线有两个交点，
则需，图象如下图所示，
若，图象如下图所示，
综上所述，的取值范围是.
15. 已知函数，对于都有成立，且满足的有且只有个，其中，给出下列个结论：
① ；
② 可能存在个值满足题意；
③ 函数的最小正周期有可能是；
④ 若在区间上单调递增，则．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】对于①，，故①正确；
对于②，由，，得，
由题意，当时，满足的有且只有个，
所以函数在区间上有且只有3个零点，
又，则，
所以当或时，函数有最大值，即，
所以，当时，存在两个的值，使得有最大值，
即当时，存在个值使得成立，故②正确；
对于③，由，解得，则，
又函数的最小正周期，所以，即，
因为，所以函数的最小正周期不可能是，故③错误；
对于④，因为在区间上单调递增，则，
由，得，又，，
所以，解得，
因为，所以，故④正确.
三、解答题.
16. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的取值范围．
解：（1）当时，，
则，即，
由，解得，则，
所以.
（2）因为，所以关于的不等式在上恒成立，
所以，解得，
故的取值范围是.
（3）由（1）知，，
所以，又因为，
所以，所以，解得，
故的取值范围是.
17. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为的横坐标为，且圆为单位圆，
所以的纵坐标为，
由三角函数定义，.
（2）.
18. 已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，，．
（1）求的值；
（2）写出函数的单调区间；
（3）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使为偶函数，直接写出一个满足题意的值．
条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）因为，
代入可得.
∵，∴，∴，
代入可得：，则，
解得：，由图象可知：.
（2）因为，
令，
化简得，
令，
化简得，
故函数的单调递增区间，
单调递减区间为.
（3）令
为偶函数，解得
若选条件①：，则可取一个符合条件的为；
若选条件②：，则可取一个符合条件的为．
19. 已知函数，其中．
（1）若，，求的值；
（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；
（3）若当时，函数在区间上存在零点，写出的值，并说明理由．
解：（1）由，得，解得，
由，得，即，解得.
（2）取，且，
则，
由，，得，且，即，
于是，
即，
因此，函数在区间上单调递增.
（3），理由如下：
①当时，
，因为，所以，
，因为，所以，则，
因为，所以.
又因为函数在区间上单调递增，
因此，根据零点存在定理得：
当时，函数在区间上存在零点，
②当，时，
由，且在区间上单调递增可知：
在区间上不存在零点.
综上所述，满足题意的的值为1.
20. 已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值；
（3）若任取，总存在，使成立，求的取值范围．
解：（1）∵，
∴，则，
∴，即函数的值域为.
（2）令，∵，∴，
，对任意的恒成立，
即为对任意的恒成立，
由化简可得：，
∵，当且仅当时，即时，取等号.
∴，则，即的最大值为.
（3）∵任取，∴，
即在上的值域，
设的值域为，若任取，总存在，使成立，则，
令，则，，
即为，开口向下，对称轴为，
当时，即时，在上单调递减，，
由可得：，解得：.
当时，即时，在上单调递增，，
由可得：，解得：.
当时，即时，在时，取得最大值，不符合题意.
综上所述：实数的取值范围为.
21. 对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合．
（1）若，求的存在共轭集合；
（2）若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：；
（3）若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值．
解：（1）因为，由题意可得：，即，
此时，满足题意；
假设集合中还有第4个元素，则由题意知：
若，即或，此时，故不成立，
若，则，所以或4或8，这与元素的互异性矛盾，
综上所述，集合中没有第4个元素，所以共轭集合.
（2）不妨设，恰有个元素的共轭集合为，
假设，即，则，，且，
由条件②，因为，故有，即，
所以，则.
因为集合有4个元素，故设，
若，则或，此时，矛盾.
若，则，所以，或，或，
即，或，或，这与集合元素的互异性矛盾.
故假设不成立，即.
（3）不妨设，的共轭集合为，.
所以，，又因为，所以.
同理.
若，由（2）可知：，从而.
对于任意的，有，即，
所以，解得.
若，即，，
故，
所以，
故，从而，
对任意的，必有，
即，所以，解得.
综上所述，的最大值为4.
当时，，符合题意.