北京市门头沟区2025年中考一模 数学试题（解析版）

这是一份北京市门头沟区2025年中考一模 数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意；
B.有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意；
C.有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意；
D.有对称轴，是轴对称图形，有旋转中心，是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B ．
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由数轴可得，
∴，
∴四个选项中只有D选项中的结论正确，
故选：D．
4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下：
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的都是红球的概率为．
故选：A．
5. 关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得，
又，
∴且，
故选：C．
6. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ）
A. 1.581×109元B. 5.27×107元C. 5.027×107元D. 5.27×108元
【答案】D
【解析】∵，
∴这部电影在上映前三日平均每天的票房为（元）．
故选：D．
7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线于点C、D．
（2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点M．
（3）作射线．就是的平分线．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 三边分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】由作图过程可知，，
∵，
∴，
∴判定依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：D．
8. 如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接交于点，连接和，下列结论中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故结论①正确；
，
，
，
，
，
，
，
故结论②错误；
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论③正确；
如图，延长交于点，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论④正确；
综上所述，结论正确的是①③④，
故选：C．
二、填空题（每小题2分，共计16分）
9. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据题意，，
解得，
故答案为：．
10. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
故答案为: ．
11. 分式方程的解为______．
【答案】
【解析】，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是方程的解，
故答案为：．
12. 某中学随机抽查了名学生，了解他们每天完成家庭作业的时间，结果如表所示：
根据相关规定，初中学生每天完成家庭作业的时间不得超过小时．如果该校共有学生人，估计该校学生完成家庭作业时间，符合要求的约有_________人．
【答案】
【解析】
故答案为：．
13. 如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______．
【答案】1
【解析】点在反比例函数的图象上，过点作轴于点A，交反比例函数的图象于点，
，，
，即，
解得：，
故答案为：1．
14. 如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则______．
【答案】
【解析】连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：40．
15. 如图，在正方形中，与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则线段的长为_________．

【答案】
【解析】过M点作，

∵四边形是正方形，是对角线,
∴，
∴，，
∴．
∵平分，
∴．
∴正方形边长，
∴正方形对角线， ．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
故答案为：．
16. 某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如下表：
问：第二题的正确答案为_______，________．
【答案】C；40
【解析】每道题答对得10分，答错得0分，
甲得20分，
∴甲答对了2题，
∵乙同学答对了一半以上的题目，
∴或，
∴第3题的答案为B，
当时，即乙同学答对了四个题，则甲同学只答对一题，不符合题意；
∴，即乙同学答对了三个题，
∴丙同学也答对了两个题，
∴第2题正确答案为C，
∴乙同学第1题、第3题、第4题正确，得30分，
∴丁同学第1题，第4题答对，得20分，
∴，
∴，
故答案为：C；40．
三、解答题（17-22每小题5分，23-26每小题6分，27-28每小题7分，共计68分，）
17. 计算：
解:

．
18. 解不等式组：．
解：
①
；
②
；
综上所述，不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
解：
，
∴ 当时，原式 ．
20. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点C作，交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，如果，，求的长．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴ 四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点O作于点F，
∵ 四边形是矩形，，，
∴，，，
∴F为的中点，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴．
21. 随着农业技术的高速发展，新农机新农技的大量运用让中国的“饭碗”越端越牢．装有北斗导航的无人驾驶插秧机大幅度提高了插秧速度．现有种型号的无人驾驶插秧机若干台，农田若干亩．若插秧机的速度为每天45亩，则工作5天后还剩400亩农田未插秧；若插秧机的速度为每天50亩，则工作6天后还剩100亩农田未插秧，问有几台插秧机和多少亩农田？
解：设有台插秧机，
则可得，
解得，
则农田为（亩），
答：有4台插秧机，1300亩农田．
22. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点．
（1）求k和b的值；
（2）当时，对于x每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围．
解：（1）由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴两个一次函数的解析式分别为，
当时，对于每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，则画出图象为：
将代入，则，
∴直线的图象过定点，
将代入，则，
由图象得：当直线的图象过点时，
则，解得：；
将代入，则，
由图象得：当直线的图象过定点时，
则，解得：；
综上，m的取值范围为:且．
23. 为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和析．
下面给出了部分信息：
① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值）
② 其中总评在91~94分的选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整；
（2）45名选手初赛成绩的中位数为 分；
（3）总评在91~94分选手成绩的众数为 分；
（4）上表中a = 分；
（5）如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由．
解：（1）由题意可知第5组人数为，
补全频数分布直方图如下：
；
（2）由图像可得：
45名选手初赛成绩的中位数是第23名的成绩，则中位数在第4组，
将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列：
91 91 91 91.5 91.6 92 92 92.2 92.6 93 93.5 93.8
45名选手初赛成绩的中位数为91分；
（3）由总评在91~94分的选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
总评在91~94分选手成绩的众数为91；
（4）初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
由小文的总评成绩即可得到小武的总评成绩为；
（5）小文能进入决赛，理由如下：
由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2；
由（2）知，45名选手初赛成绩的中位数为91分，
，
根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛，而小文的成绩大于成绩中位数，
小文能进入决赛．
24. 如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接
∵是的切线
∴
∵，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴．
∴，
∴
∴
∴；
（2）解：由，设，，
∵，
∴
∴．
∴．
∴正数
∴，，
如图：连接
∵是直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下：
（1）补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为
（结果保留小数点后一位）；
② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差．
解：（1）由题意得：温度每增加，导电性能增加，
∴，
故答案为：；
（2）如图，
（3）由函数图象得：与x成一次函数关系，与x成二次函数关系，
设，
由题意，得，
解得，
∴．
设，
由题意，得，
解得，
∴，
①由题意，得，
整理，得，
解得（舍去）
把代入，得．
∴该种材料在温度为时，室内外的导电性相同，此时的导电性为，
故答案为：23，2.4；
②当室内导电性比室外导电性高时，
由题意，得，
整理，得，
解得（舍去），
当室外导电性比室内导电性高时，由表格知，此时温度为，
故答案为：10或28．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）．
（1）当，时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围．
解：（1）将，代入抛物线中，得，
∴ ，
∴顶点坐标为．
（2）∵，
∴，
将点，和分别代入表达式得，
，
，
，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
当时，
，
，
，
又∵，
∴ ，
∴ ，
∴ 或
解不等式组①得：
解不等式组②得：无解．
∴
同法可求，当时，，
∴ ．
27. 如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于．
（1）求证：；
（2）过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示与之间的数量关系，并证明．
（1）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：①依题意补全图形，如图：

②与之间的数量关系是，
证明：延长到，使，连接，
，
，
又∵由（1）得，
，
∵以为圆心，长为半径作弧，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点的“相称点”．
（1）如图1，如果点，，
①在点，，中，点的“相称点”的是________；
②点的“相称点”与点的距离最小值是_______．
（2）如图2，的半径和等边的边长均为，点，点和点都在上，如果在图中的边上存在点的“相称点”，求的取值范围．
解：（1）①∵，将点沿直线翻折后得到点，则，将点沿直线翻折后得到点，则，
∵
∴在上，
∵，在上，
∴点的“相称点”的是，；
故答案为：，；．
②点，
∴，
∴，
∴当时，，
故答案为：；
（2）如图：
在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，
先将固定，在上运动，随之运动，连接并延长至使得，连接，则，即在为圆心，半径为的上运动，
当点在上运动，则在以为圆心，半径为与的圆环内运动，如图：
∵边上存在点的“相称点”，
∴的边与圆环有交点，
如图，当与3为半径的外切时，设切点为，则切点坐标为，
∵等边的边长均为，，
∴，
∴，
当在为半径的上时，，
当在为半径的上时，，则，此时，
当在为半径的上时，，
随着点的移动，可得，或．红
黄
红
(红，红)
(红，黄)
黄
(黄，红)
(黄，黄)
时间（小时）
人数
第1题
第2题
第3题
第4题
总分
甲同学
A
C
B
C
20
乙同学
D
D
B
A
丙同学
B
C
B
D
m
丁同学
D
B
C
A
n
笔试成绩
抢答成绩
演讲成绩
总评成绩
小文
93
90
92
91.6
小武
90
85
96
笔试成绩
抢答成绩
演讲成绩
总评成绩
小文
93
90
92
91.6
小武
90
85
96
x
0
10
20
30
40
50
y1
0.6
a
2.2
3.0
3.8
4.6
y2
0.8
17
2.3
2.8
3.1
3.3