甘肃省陇南市部分学校2024年中考模拟数学试题（解析版）

这是一份甘肃省陇南市部分学校2024年中考模拟数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的倒数是，的相反数是，
故选：D．
2. 2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，以下是某运会会标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
3. 如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，∴，
∵平分，∴．
故选B．
4. 已知函数的图象经过点，则比较的大小为（ ）
A. B.
C. D. 无法比较
【答案】B
【解析】∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而增大，
∵，
∴，
故选：B．
5. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】关于的方程有两个不相等的实数根，，
，
解得：，
，
函数过第一、二、四象限，
故选：C．
6. 如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A. 甲的平均成绩较低且稳定B. 乙的平均成绩较低且稳定
C. 甲的平均成绩较高且稳定D. 乙的平均成绩较高且稳定
【答案】A
【解析】根据折线统计图，可知甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但是甲的成绩波动比乙的成绩波动小，计乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：A．
7. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点M 是的中点，，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，当点B在最高位置时，过点B作垂直于地面于C，取中点H，连接，
∵点M 是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵支柱垂直于地面，垂直于地面，
∴，
∴由平行线的唯一性可知重合，即点H与点N重合，
∴，
∴小朋友离地面的最大距离是，
故选：B．
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A. 米B. 2米
C. 3米D. 米
【答案】A
【解析】连接交于点E．
由题意，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
故选：A．
9. 如图，在中，，，，，垂足为D，那么的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ）

A. （2，3）B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵图象右端点F的坐标为，M是的中点，
∴，
∴，
如图，连接，连接，交于点N′，连接，

∴当点N在点时，取得最小值为，
∵四边形为菱形，，
∴为等边三角形，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴点E的坐标为．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 绝对值小于8的所有整数的和等于____________．
【答案】0
【解析】绝对值小于8的所有整数有．
绝对值小于8的所有整数的和等于
，
故答案为：0．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】．
13. 年月日是我国第个植树节，截至年，全国完成新增种植和低产林改造亩，将数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
14. 如图，内接于，是的直径，若，则等于______．

【答案】
【解析】连接，如图，

∵是的直径，
∴，
而，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为____________．

【答案】20
【解析】∵，
∴，
∴当时，最大，最大值为20，
故答案为：20．
16. 如图，与相切于点，线段交于点．过点作交于点，连接，，且交于点．若，．则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】∵与相切于点，，
∴，
∵，∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在和中，，
∴，
∴，
∴
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
三、解答题：本题共11小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
解：
．
18. 化简：．
解：原式．
19. 解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．
解：由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
满足的非负整数解为：0，1
20. 如图，点E，F是平行四边形的对角线上两点，且．
（1）求证：；
（2）连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形（不需要说明理由）．
（1）证明：∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，∴，
（2）解：填加的条件：，
证明如下：
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
21. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图，
根据题意有：，，，，，，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（米），
答：信号塔的高为米．
22. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
（2）“等级”在扇形图中的圆心角度数为______；
（3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
解：（1）（名），
故答案为：50，
补全条形图如下：
（2）测试结果为C等级的学生数为：（名），
，
故答案为：；
（3）画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为．
23. 河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要42元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要65元．
（1）求太阳帽、旅行包每个的进价；
（2）该景区的太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？
解：（1）设太阳帽每个的进价元，旅行包每个的进价元，
根据题意，得，解得：，
答：太阳帽每个进价元，旅行包每个的进价元．
（2）设购进旅行包个，则购进太阳帽个，设销售完后获得的利润为元，根据题意，得，
解得：，
∵随的增大而增大，
∴当时，的最大值（元）
答：购进旅行包个，则购进太阳帽个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润为元．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）一次函数的图像上是否存在一点，使得求．若存在，求出点坐标，若不存在说明理由．
解：（1）∵点在反比例函数图象上，
∴，得，即；
把代入得，，
∴；
把、代入中得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）根据函数图象可得：不等式的解集是：或；
（3）设直线与轴交于点，

把代入可得：，即；
，轴，垂足为，
，，，
，
设点坐标为，
，
，
，
解得：或；
因此，存在在点使得，点的坐标为或．
25. 如图，是的直径，点C在上，平分交于点D， 过点D作于E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴与相切；
（2）解：过作于．
∵平分，，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
解得．
26. 综合与实践
数学活动课上，王老师展示了如下的一个问题：
问题情景：如图1，在中，，，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接．
问题探究：
（1）求证：是直角三角形．
（2）试猜想与之间的数量关系并加以说明．
拓展应用：
（3）如图2，在中，，，点是外一点，连接，当，且时，请直接写出四边形的面积．
（1）证明：在中，，，
，
由旋转的性质可得：，，
，即，
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：，理由如下：
由（1）可得：，
，
在中，，，
；
（3）解：如图，作交的延长线于，
在中，，，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，，
．
27. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线是直线下方抛物线上一动点．

（1）求两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
（2）过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标．
（3）在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，．解得．
点在点的左侧，
，
设直线的表达式为：
将代入得：，解得：，
直线函数表达式为
同理将代入，可得直线的函数表达式为．
（2）设，
轴，，
，
，
为线段的中点，
，
．
解得（舍去），，
；
（3）存在，点的坐标为或.
分以下三种情况讨论：
①当时，如图，过点作轴于点，
过点作，交的延长线于点．
设，则，
，
．
，
，
．
又，
，
，
，
，
．
解得，
，
.

②当时，如图，过点作轴，过点作于点，
过点作交的延长线于点．
设，则，
，
．
，
，
．
又，
，
．
，
，
，
解得．
，
.

③当时，该情况不存在．
综上所述，点的坐标为或.